Sea $\sim$ una relación de equivalencia en un espacio topológico $X$. Designemos por $\, p: X \to X/ \sim$ la proyección de cada punto en la clase de equivalencia que lo contiene. Se llama espacio topológico cociente al conjunto $X/{\sim}$ junto con la familia de subconjuntos $W \subset X/{\sim}$ cuya antiimagen $\,p^{-1}(W)$ es un abierto.
Proposición. Los subconjuntos de $X/{\sim}$ de la definición anterior forman efectivamente una topología.
$p^{-1}(\emptyset) = \emptyset\,$ y $\,p^{-1}(X/{\sim}) = X$. Por lo tanto, el
vacío y el conjunto total $X/{\sim}$ son abiertos.
Si $W_1, W_2$ son abiertos,
$p^{-1}(W_1) \cap p^{-1}(W_2) = p^{-1}(W_1 \cap W_2)$ es la intersección de dos
abiertos de $X$ y, en consecuencia, también abierto. Por lo tanto, $W_1 \cap W_2$
es abierto del cociente.
Si $\{W_j \mid j\in J\}$ es una familia de abiertos, todas las antiimágenes
$p^{-1}(W_j)$ son abiertos de $X$ y
$$
\bigcup_j p^{-1}(W_j) = p^{-1} \left( \bigcup_j W_j \right)
$$
también es abierto. Por tanto, la unión $\, \bigcup_j W_j\,$ es un abierto del
cociente.