Proposición.
Sea $X= \coprod_j X_j$ la suma de los espacios topológicos $(X_j, \tau_j)$,
$\, j\in J$.
1. El conjunto $\tau$ formado por todos los abiertos de los $\tau_j$ y sus uniones
es una topología.
2. Una aplicación $f: (X, \tau) \to (Y, \rho)$ es continua si, y solo si,
todas las composiciones $f\circ \iota_j$ son continuas, donde
$\iota_j: X_j \hookrightarrow X$ son las inclusiones naturales.
Demostración
1. El vacío y el total son claramente uniones de los vacíos y los totales de los
$X_j$. La uniones de uniones son uniones. Para las intersecciones tenemos
$$
\left(\bigcup_j U_j \right) \, \cap \, \left( \bigcup_j V_j \right) \, = \,
\bigcup_j (U_j \cap V_j)
$$
y si $U_j, V_j$ son abiertos de $X_j$, su intersección también lo es.
2. Si $f$ es continua $\, f \circ \iota_j\,$ es composición de dos aplicaciones
continuas y, por tanto, continua.
Si todas las $\, f \circ \iota_j : X_j \to Y\,$ son continuas, tomemos un
abierto $V$ de $Y$. Para cada $j$, la intersección de $f^{-1}(V)$ con $X_j$ es
un abierto.
$$
(f\circ \iota_j)^{-1}(V) = \iota_j^{-1} \left( f^{-1}(V) \right) =
f^{-1}(V) \cap X_j
$$
Por tanto, $f^{-1}(V)$ es unión de abiertos de los $X_j$: $\, f^{-1}(V) =
\bigcup_j \left( f^{-1}(V) \cap X_j \right)$. Es decir, $f^{-1}(V)$ es abierto
por la topología de la suma.