Proposición. Un subespacio $K$ de $\mathbb R^n$ es compacto si, y solo si, es cerrado y acotado.
Demostración
Sea $K$ un compacto de $\mathbb{R}^n$. Como $\mathbb{R}^n$ es Hausdorff, $K$ es
cerrado (ver aquí).
Consideremos el recubrimiento abierto de $K$:
$\,\{B(0,m) \cap K\ \mid m\in \mathbb{N}\}$. Por ser $K$ compacto existe un
subrecubrimiento finito. Si $M$ es el radio máximo de las bolas del
subrecubrimiento, $\, K \subset B(0, M)$ y $K$ es acotado.
Supongamos ahora que $A \subset \mathbb R^n$ es cerrado y acotado. En particular, existe un natural $N$, suficientemente grande, tal que $A \subset [-N,N]^n$. $A$ es un cerrado de $[-N,N]^n$ y este conjunto es compacto por ser producto de compactos (ver aquí y aquí). Por tanto, es compacto (ver aquí).