Propiedades de separación hereditarias

Proposición. 1. Todo subespacio de un espacio Hausdorff es Hausdorff. Todo subespacio de un espacio regular es regular. Todo subespacio cerrado de un espacio normal es normal.

2. El producto de espacios de Hausdorff es de Hausdorff. El producto de espacios regulares es regular.

3. Ninguna propiedad de separación se conserva automáticamente al hacer cocientes.

Demostración

1. Sea $Y$ un subespacio de un espacio Hausdorff $X$. Dos puntos cualesquiera $y_1 \not= y_2$ de $Y$, tienen entornos abiertos $X$ disjuntos $$ U \ni y_1, \,\, V \ni y_2, \quad U \cap V = \emptyset $$ $U \cap Y$, $\, V \cap Y$ son abiertos de $Y$ disjuntos que contienen a $y_1, y_2$ respectivamente. Por tanto $Y$ es Hausdorff.

Sea $A$ un cerrado de $Y$. $A$ es intersección de un cerrado de $X$ con $A$. En efecto, $Y \setminus A$ es un abierto de $Y$, es decir existe un abierto $U$ de $X$ tal que $Y \setminus A = U \cap Y$. Por lo tanto, $$ A = Y \setminus (U\cap Y) = (X \setminus U) \cap Y $$ con $X \setminus U$ cerrado en $X$. Dado el cerrado $A$ de $Y$ y un punto de $y \in Y$ que no esté en $A$, si $X$ es regular, existen abiertos disjuntos de $X$ que contienen a $X \setminus U$ y a $y$: $ W \supset (X \setminus U)$, $\, V \ni y.$ Las intersecciones con $Y$, $W \cap Y$, $\, V \cap Y$, son abiertos de $Y$ disjuntos que contienen a $A$, $y$, respectivamente. Por tanto $Y$ es regular.

Supongamos que $X$ es normal. Para ver si el subespacio $Y$ lo es, tomemos dos cerrado disjuntos, $A$ y $B$, de $Y$. Estos cerrados son intersección con $Y$ de cerrados de $X$, que podrían no ser disjuntos. (Existen casos en los que es esto lo que pasa). Ahora bien, si $Y$ es cerrado, entonces $A$ y $B$ son cerrados también en $X$ y existen abiertos disjuntos de $X$ que los contienen $$ U \supset A, \quad V \supset B $$ $U \cap Y$, $\, V \cap Y$ son abiertos de $Y$ disjuntos que contienen a $A$, $B$, respectivamente. Por tanto $Y$ es normal.

2. Sea $Y$ un subespacio del producto $\prod_j X_j$. Dados $y=(y_j) \not= z=(z_j)$ en $Y$, escojamos una de las coordenadas no comunes: $y_k \not= z_k$. Si $X_k$ es Hausdorff, existen abiertos disjuntos $U_k, V_k$ de $X_k$ que contienen $y_k$, $z_k$, respectivamente.

$$ p_k^{-1}(U_k) = U_k \times \prod_{j \not= k} X_j, \quad p_k^{-1}(V_k) = V_k \times \prod_{j \not= k} X_j, \quad $$ son abiertos disjuntos del producto que contienen a $y$, $z$, respectivamente.

Supongamos ahora que los espacios $X_j$ son regulares. Sea $x=(x_j)$ un punto y $A$ un cerrado del producto, $\, x \not\in A$. Designemos por $ U = \prod_j X_j \setminus A$ el abierto complementario de $A$. El punto $x \in U$ está en un abierto del tipo $$ x \in U_{j_1} \times \dots \times U_{j_k} \subset U, \qquad x_{j_i} \in U_{j_i} \,\, \text{ abierto de } \,\, X_{j_i} $$

Para cada $t = j_i$, como $X_t$ es regular, existen abiertos disjuntos $V_t \ni x_t$, $\, W_t \supset X_t \setminus U_t\,$ (ambos sombreados en la figura). $$ x \in p_{j_1}^{-1}(W_{j_1}) \times \dots \times p_{j_k}^{-1}(W_{j_k}) \subset p_{j_1}^{-1}(\overline{W_{j_1}}) \times \dots \times p_{j_k}^{-1}(\overline{W_{j_k}}) \subset U $$ Los abiertos $$ p_{j_1}^{-1}(W_{j_1}) \times \dots \times p_{j_k}^{-1}(W_{j_k}), \quad \prod_j X_j \setminus \left( p_{j_1}^{-1}(\overline{W_{j_1}}) \times \dots \times p_{j_k}^{-1}(\overline{W_{j_k}}) \right) $$ son disjuntos y contienen a $x$ y a $A = \prod_j X_j \setminus U$ respectivamente.

3. El espacio $\mathbb R$ cumple todas las propiedades de separación. El cociente $\, \mathbb R / \mathbb Q$ no cumple ninguna.