Producto de una identificación por un espacio

Proposición. Sea $p:X\to Y$ una identificación. Si el espacio $Z$ es localmente compacto, la aplicación $p \times I_Z : X\times Z \to Y\times Z$ es también una identificación, donde $I_Z$ es la identidad sobre $Z$.

Demostración

Se trata de demostrar que $W \subset Y \times Z$ es abierto por la topología del producto si, y solo si, la antiimagen $(p\times I_Z)^{-1}(W)$ es un abierto de $X \times Z$.

$\Rightarrow$) Sea $W$ un abierto de $Y \times Z$. La aplicación $p \times I_Z$ es continua porque las composiciones con las proyecciones $$ X \times Z \stackrel{p\times I_Z}{\longrightarrow} Y\times Z \stackrel{\pi_Y}{\longrightarrow} Y, \qquad X \times Z \stackrel{p\times I_Z}{\longrightarrow} Y \times Z \stackrel{\pi_Z}{\longrightarrow} Z, $$ coinciden respectivamente con las aplicaciones continuas $$ X \times Z \stackrel{\pi_X}{\longrightarrow} X \stackrel{p}{\longrightarrow} Y, \qquad X \times Z \stackrel{\pi_Z}{\longrightarrow} Z. $$ donde $\pi_X$, $\pi_Y$ y $\pi_Z$ son proyecciones. Por lo tanto, $(p \times I_Z)^{-1}(W)$ es abierto.

$\Leftarrow$) Supongamos ahora que $\,(p\times I_Z)^{-1}(W)\,$ es abierto en $X\times Z$. Para demostrar que $W$ es abierto construiremos, para cada $(y_0, z_0) \in W$, un entorno abierto contenido en $W$.

Escojamos un punto $x_0 \in X$ tal que $p(x_0)=y_0$ y un entorno $$ (x_0, z_0) \in U \times V \subset (p\times I_Z)^{-1}(W). $$ Por ser $Z$ localmente compacto, existe un entorno compacto $K$ de $z_0$: $\, z_0 \in L \subset K \subset V$, $L$ abierto de $Z$. Por tanto, $(x_0, z_0)\in U \times K \subset (p\times I_Z)^{-1}(W)$.

Ampliamos ahora $U$ de la siguiente forma: $$ x_0 \in U \subset M = \{\,x\in X \,|\, \{x\}\times K \subset (p\times I_Z)^{-1}(W) \,\}. $$ Es decir, $M$ es el mayor subespacio de $X$ tal que $M \times K \subset (p\times I_Z)^{-1}(W)$.

Vamos a demostrar que $p(M)$ es abierto. Tendremos pues que $p(M) \times L$ es un entorno abierto de $(y_0, z_0)$ contenido en $W$ $$ (y_0, z_0) \in p(M) \times L \subset p(M) \times K \subset W $$ y quedará demostrado que $W$ es abierto. La demostración de que $p(M)$ es abierto la haremos en tres pasos

1. $M$ es un abierto de $X$.

Dado $x \in M$, para cada $z \in K$ tomemos abiertos $A_z$, $B_z$, tales que $$ (x, z) \in A_z \times B_z \subset (p \times I_Z)^{-1}(W). $$ Por ser $K$ compacto, un número finito de los abiertos $\{B_z\}_z$ recubren $K$ : $K \subset B_{z_1} \cup\dots\cup B_{z_k}$. Tomemos $ A_x = \bigcap_{i=1}^k A_{z_i}$, $\, B_x = \bigcup_{i=1}^k B_{z_i}$. Tenemos que $$ A_x \times K \subset A_x \times B_x \subset (p \times I_Z)^{-1}(W) \quad\Rightarrow \quad x \in A_x \subset M $$ $A_x$ es un entorno abierto de $x$ contenido en $M$.

2. $p^{-1}(p(M)) = M$

Siempre $M \subset p^{-1}(p(M))$. Veamos la inclusión contraria. Sea $z \in p^{-1}(p(M))$ y tomemos un $x \in M$ tal que $p(z) = p(x).$ Por la definición de $M$, $$ \{p(z)\} \times K = \{p(x)\} \times K = (p \times I_Z)(\{x\} \times K) \subset W, $$ Es decir, $ \{z\} \times K \subset (p \times I_Z)^{-1}(W)$ y, por lo tanto, $z \in M$.

3. $p(M)$ es abierto.

En efecto, por hipótesis $p$ es una identificación y, por tanto, $p(M)$ es abierto puesto que $p^{-1}(p(M)) = M$ lo es.