Localmente compactos

Proposición. Si $X$ es localmente compacto, para todo entorno $U$ de un punto $x\in X$ existe un entorno compacto de $x$ contenido en $U$.

Demostración

Sea $x \in U$, con $U$ abierto en $X$. Sea $K$ un entorno compacto de $x$, es decir, $K$ es compacto y contiene un abierto $W$ tal que $$ x \in W \subset K \subset X $$ $K$ es además normal (ver aquí) y, por lo tanto, existen abiertos de $K$, disjuntos, que contienen a $x$ y al cerrado $K \cap (X\setminus U)$ (en verde en la figura). Es decir, existen abiertos de $X$, $A$ y $B$, que pueden no ser disjuntos, pero cuya intersección con $K$ da lugar a dos abiertos disjuntos de $K$: con $$ x \in K\cap B, \qquad K \cap (X \setminus U) \subset K \cap A, \qquad A \cap B \cap K = \emptyset $$

El abierto $B \cap W \ni x$ está contenido en $K \cap (X\setminus A)$ que es un cerrado de $K$ y también de $X$. Por tanto, $$ x \in B \cap W \subset \overline{B \cap W} \subset K \cap (X\setminus A) \subset U $$ $\overline{B \cap W}$ es un cerrado del compacto $K$ y, por tanto, es un entorno compacto de $x$ contenido en $U$.