Compactificación

Los espacios compactos son espacios muy manejables, con buenas propiedades. Si el espacio con el que estamos trabajando no es compacto, puede ser una buena idea mirar si es, al menos, subespacio de un espacio compacto. Podría compararse a la conveniencia de trabajar en los complejos aunque estemos estudiando soluciones reales de ecuaciones reales.

Llamaremos compactificación de un espacio $X$ a un espacio $Y$ si $X$ es homeomorfo a un subespacio denso de $Y$, y $Y$ es compacto.

La condición de que el espacio sea denso en su compactificación solo tiene como objetivo que la compactificación no sea innecesáriamente grande. Si $X \subset K$ con $K$ compacto, la adherencia de $X$ es $K$ es también compacta y sería una compactificación de $X$.

Ejemplos

Las aplicaciones $$ \begin{array}{rclcrcl} h_1: (0,1) & \hookrightarrow & [0,1],& \qquad & h_2: (0,1)& \longrightarrow & S^1 \\ t & \mapsto & t & & t & \mapsto & (\cos{2\pi t}, \sin{2\pi t}) \end{array} $$ son compactificaciones del espacio $(0,1)$. En general, las siguientes aplicaciones son compactificaciones de la bola unidad de un espacio $\mathbb R^n$: $$ h_1: B ( O, 1) \hookrightarrow \overline{B(O, 1)}, \qquad\quad h_2: B(O, 1) \longrightarrow S^n $$ donde $h_1$ es la inclusión y $h_2: B(O,1) \cong \mathbb R^n \cong S^n \setminus \{(0, \dots, 0, 1)\} \subset S^n$, composición de la inversa de la proyección estereográfica y homeomorfismos.

¿Existen compactificaciones de cualquier espacio? Como la compactificación es, en particular, un espacio Hausdorff, es imprescindible que el espacio de partida sea Hausdorff. Otras propiedades permiten construir compactificaciones de distintos tipos. En el ejemplo anterior se han dado dos compactificaciones distintas de las bolas de $\mathbb R^n$. Una de ellas se ha obtenido añadiendo un solo punto; son las que se llaman compactificaciones por un punto o de Alexadroff.

La compactificación de una bola abierta por su adherencia es un ejemplo de las llamadas compactificaciones de Stone-Cech. Las compactificaciones de Stone-Cech tienen propiedades que las hacen muy útiles en determinados problemas. Por ejemplo: las aplicaciones continuas y acotadas, $\, f: X \to \mathbb R$, de un espacio $X$ se pueden extender a la compactificación de Stone-Cech de $X$. Cosa que no pasa con la compactificación por un punto. Por ejemplo, la inclusión $\, (0,1) \hookrightarrow \mathbb R$ no puede extenderse a una aplicación continua de $S^1 \to \mathbb R$. Nosotros solo nos vamos a ocupar de la compactificación por un punto.

Proposición. Todo espacio topológico $(X, \tau)$ Hausdorff, localmente compacto y no compacto, tiene una compactificación por un punto $$ \iota: (X, \tau) \hookrightarrow (\hat{X} = X \cup \{*\}, \, \hat\tau) $$ Los abiertos de $\hat{X}$ son los abiertos de $X$ y los conjuntos que contienen el punto $*$ y cuyo complementario es un compacto de $X$: $$ \hat\tau = \tau \cup \{ \hat{X} \setminus K \mid K \; \text{ compacto de } \; X\} $$

Demostración .

El espacio $(\hat{X},\, \hat{\tau} )$ que acabamos de construir se llama compactificación por un punto o compactificación de Alexandroff de $X$.

Ejemplo

¿Cual sería la compactificación por un punto del conjunto $\mathbb N = 1, 2, \dots$ de numeros naturales ? $\mathbb N$ tiene la topología discreta y sus subconjuntos compactos son, por tanto, los conjuntos finitos. Así pues, su compactificación, según la construcción anterior es $$ \hat{\mathbb N} = \mathbb N \cup \{*\} $$ y sus abiertos todos los subconjuntos de $\mathbb N$ y los subconjuntos que contienen $*$ y el complementario de un conjunto finito de puntos. Nos hemos encontrado ya antes con este espacio. En efecto, pensemos en otro modelo de $\mathbb N$ $$ \mathbb N \stackrel{\cong}{\longrightarrow} A:=\{\frac{1}{n} \mid n \in \mathbb N\} $$ El conjunto $A \cup \{0\}$, con la topología inducida por la de $\mathbb R$, tiene como abiertos, todos los subconjuntos de $A$ y los conjuntos que contienen $0$ y todo $A$ salvo un número finito de puntos, ya que todas las bolas que contienen $0$ contienen todos los puntos de $A$ salvo un número finito. Es decir, $A \cup \{0\}$ es la compactificación por un punto de $A \cong \mathbb N$.