Grupos de homotopía

Hemos visto que cualquier camino en la esfera es homótopo al camino constante. ¿Nos dice esto que la esfera no tiene ningún agujero? Depende de lo que entendamos por "agujero", porque la esfera está hueca, tiene una cavidad. Cualquier objeto en el espacio puede tener cavidades que no son detectadas por caminos cerrados.

Pensemos como hemos detectado los agujeros: los hemos rodeado de caminos cerrados que no podíamos deformar en caminos constantes. Pues hagamos lo mismo con las cavidades: envolvámoslas, no con caminos puesto que no se puede, sino con hojas de papel, es decir rectángulos.

Fijado un punto $p$ en un espacio $X$, consideremos el conjunto de aplicaciones continuas $[0,1]\times [0,1] \to X$ tales que las imágenes de los puntos del borde del rectángulo son siempre $p$. Denotemos este conjunto por $C_2(X, p)$. Dos aplicaciones de $C_2(X, p)$, $f,g: [0,1]\times[0,1] \to X,$ son homótopas si existe una aplicación continua $$ H: [0,1]\times [0,1]\times [0,1] \longrightarrow X $$ que cumple: 1. Para cualquier $s$ la aplicación $H_s: [0,1]\times [0,1] \to X$, $\; H_s(u,v) = H(u,v,s)$, es de $C_2(X, p)$, es decir aplica los puntos del borde del rectángulo en $p$. 2. $H_0 = f$ y $H_1 = g$. Se dice entonces que $H$ es una homotopía de $f$ en $g$.

La homotopía $H$ puede interpretarse como un camino de elementos de $C_2(X, p)$ que une los elementos $f$ y $g.$

Consideremos los subconjuntos maximales de $C_2(X, p)$ formados por aplicaciones homótopas. A estos subconjuntos los llamamos clases y están determinados por cualquiera de sus elementos que llamaremos entonces un representante de la clase. El conjunto de estos subconjuntos o clases se designa por $\pi_2(X, p)$. Vamos a definir una operación en $\pi_2(X,p)$.

Sean $[f]$, $[g]$ dos clases de $\pi_2(X, p)$ representadas por $f$ y $g$. Llamaremos producto de $[f]$ y $[g]$ a la clase de la aplicación $ f\cdot g: [0,1]\times [0,1] \to X$ tal que

$$ (f\cdot g) (u,v) = \left\{ \begin{array}{lcl} f(2u, v) & \text{si} & 0\leq u \leq 1/2 \\ g(1-2u, v) & \text{si}& 1/2 \leq u \leq 1 \end{array} \right. $$

El producto de dos clases no depende de los represetantes que escojamos. Las demostraciones de todas estas afirmaciones son análogas a las del caso del grupo fundamental. Aquí también resulta que $\pi_2(X, p)$ con esta operación es un grupo, que se llama segundo grupo de homotopía de $X$.

No hace falta limitarse a rectángulos, pueden darse las mismas definiciones para cubos, en dimensión tres o en dimensiones superiores. Lo primero será simplificar un poco las notaciones: pondremos $I = [0,1]$, y $I^k$ al producto cartesiano de $k$ copias $I$. El borde de $I^k$ es el conjunto $\partial I^k$ de $k$-plas en que alguna de las coordenadas sea $0$ ó $1$.

Sea $C_k(X, p)$ el conjunto de aplicaciones continuas $I^k \to X$ que aplican $\partial I^k$ en $p$. Dos de estas aplicaciones se llaman homótopas si existe una aplicación continua $$ H: I^k \times I \longrightarrow X $$ tal que 1. todas las aplicaciones $H_s = H(\quad, s): I^k \to X$, aplican $\partial I^k$ en $p$. 2. $H_0 = f$ y $H_1 = g$.

El conjunto de subconjuntos maximales de $C_k(X,p)$ formados por aplicaciones homótopas dos a dos, se denota por $\pi_k(X, p)$. Cada uno de estos subconjuntos, que llamaremos clase, está determinado por cualquiera de sus elementos, que llamaremos un represetante de la clase. Dados dos elementos $[f]$ y $[g],$ representados por las aplicaciones $f$ y $g,$ se define su producto como la clase $$ [f]\cdot [g] = [f\cdot g], \quad \text{donde} \quad (f\cdot g) (u_1,\dots, u_k) = \left\{ \begin{array}{lcl} f(2u_1,\dots, u_k) & \text{si} & 0\leq u_1 \leq 1/2 \\ g(1-2u_1, \dots, u_k) & \text{si}& 1/2 \leq u_1 \leq 1 \end{array} \right. $$ La clase $[f\cdot g]$ no depende de los representantes $f$ y $g$ escogidos. $\pi_k(X,p)$ con esta operación es un grupo que se denomina $k$-ésimo grupo de homotopía de $X$ con punto base $p$.

Observemos que, en particular, el grupo fundamental es el grupo $\pi_1(X,p)$.

A diferencia del grupo fundamental, los grupos $\pi_k(X,p)$ con $k \geq 2$ son conmutativos, es decir, el orden de los factores no altera el producto. Para convencernos de esto observemos la figura (caso $k=2$).

El primer cuadrado representa $f\cdot g$. La aplicación $f$ está comprimida en la mitad izquierda. Concretamente, si $(u,v) \in [0, 1/2]\times [0,1]$, $f\cdot g$ aplica este punto en $f(2u, v)$. Esta aplicación es homótopa a la que comprime $f$ en la parte inferior y el resto constantemente en $p$: $$ \text{si} \quad (u,v) \in [0, 1/2] \times [0,1], \qquad (u, v) \mapsto \left\{ \begin{array}{lcl} f(2u, 2v), & \text{si} & 0\leq v \leq 1/2 \\ p, & \text{si} & 1/2 \leq v \leq 1 \end{array} \right. $$ De manera análoga, en el primer cuadrado la aplicación $g$ está comprimida en la mitad derecha: $\; (f\cdot g)(u, v)= g(1-2u, v)\; $ para $\; (u,v)\in [1/2, 0]\times[0,1]\; .$ Podemos ahora, mediante una homotopía comprimir $g$ en la mitad superior. Como en los bordes todos los puntos de aplican en $p$, estas dos homotopías definen una homotopía de la aplicación $f\cdot g$ representada en el primer cuadrado en la aplicación representada en el segundo. Análogamente, ocurre que las aplicaciones indicadas en cada cuadrado son homótopas a la del cuadro anterior. La última es $g \cdot f$. Por lo tanto $$ [f]\cdot [g] = [f\cdot g] = [g\cdot f] = [g]\cdot [f] $$

Observemos que en el razonamiento anterior la función representada en el cuadrado en medio es análoga a la definición que hemos dado de $f\cdot g$ pero utilizando la segunda coordenada. El papel aparentemente destacado que hemos dado a la primera coordenada no lo es realmente; cualquier coordenada sirve para hacer el producto de dos clases.

Grupos de homotopia como clases de aplicaciones de las esferas en el espacio.

Cualquier camino cerrado $\omega: [0,1] \to X$ induce una aplicación continua de la circunferencia en $X$: $$ \omega: [0,1] \stackrel{q}{\longrightarrow} S^1 \stackrel{f_\omega}{\longrightarrow} X, \qquad q(t) = ( \cos t, \; \sin t) $$ Además las homotopias entre dos caminos dan lugar a "homotopias" entre las aplicaciones inducidas en $S^1$: $$ H: [0,1] \times [0,1] \stackrel{q\times Id}{\longrightarrow} S^1 \times [0,1] \stackrel{\mathcal H}{\longrightarrow} X $$ Fijando $s$ resultan los caminos $H_s$ como composición de $q$ y una aplicación $S^1 \to X$. En particular, $\mathcal H_0 = f_\omega$, $\mathcal H_1=f_\rho$.

Es posible definir el grupo fundamental utilizando aplicaciones de $S^1$ en nuestro espacio, que apliquen el punto $(1,0) \in S^1$ en el punto base $p \in X$ y homotopías entre estas aplicaciones. En general, para cualquier entero $k > 0$ las aplicaciones continuas de $I^k \to X$ que aplican el borde $\partial I^k$ en un punto $p$, inducen una aplicación continua de la $k$-esfera en $X$ que aplica el punto $(1,0,\dots, 0) \in S^k$ en $p$: $$ I^k \longrightarrow S^k = \{(x_1,\dots,x_{k+1}) \in \mathbb R^{k+1} \mid (x_1)^1+ \dots+(x_{k+1})^2 = 1 \} \longrightarrow X $$ Las homotopías entre aplicaciones $I^k \to X$ inducen "homotopías" entre las correspondientes aplicaciones $S^k \to X$. Esto permite definir los grupo $\pi_k(X, p)$ como clases de aplicaciones de la esfera.

Aplicaciones de los grupos de homotopía

Los grupos de homotopía no tienen una utilidad práctica inmediata, debido a la dificultad de calcularlos. Se desconocen para espacios tan sencillos como, por ejemplo, muchas esferas. Su utilidad es principalmente teórica y surgen de manera natural en el estudio de muchos problemas de Topología. Naturalmente, estos resultados teóricos sí tienen aplicaciones prácticas muy importantes. Vamos a mencionar dos casos sencillos en los que el grupo fundamental tiene relevancia: el Teorema del punto fijo y los espacios recubridores.