Grupos de homología

Introducción

Hemos motivado la definición de los grupos de homotopía con poder detectar agujeros y cavidades, pero también hemos dicho que son difíciles de calcular. Así pues, a efectos prácticos, no nos sirven de mucho. Su importancia es sobretodo en aspectos teóricos y resultan fundamentales en el estudio de muchos problemas topológicos.

Para estudiar la forma de los objetos resultan mucho más práticos los grupos de homología que son más fáciles de calcular. Sin embargo, estos grupos tienen una definición más elaborada y más técnica. Además existen varias Teorías de Homología que se diferencian en los objetos con los que tratan: poliedros, espacios celulares y espacios topológicos en general. Las definiciones difieren en cada caso pero, a un mismo objeto, todas le asocian los mismos grupos.

Los poliedros son espacios que constan de un conjunto de puntos, los vértices; un conjunto de segmentos, las aristas, cuyos extremos son vértices; un conjunto de triángulos cuyos lados son aristas;... y, en general, un conjunto de k-símplices cuyas caras son también del poliedro. Por simplicidad solo vamos a considerar poliedros finitos en un espacio $\mathbb R^n$.

Se llama k-símplice (o también k-simplex) determinado por k+1 puntos $a_0, a_1, \dots, a_k$, al conjunto de todos los puntos $x$ de la forma $$ \vec{a_0 x} = x^1 \vec{a_0 a_1} + \dots + x^k \vec{a_0 a_k}, \quad \text{con} \quad x^1 + \dots + x^k \leq 1, \quad x^j \geq 0, \;\; j = 1, \dots, k $$ Lo denotaremos por $\Delta(a_0, \dots, a_k)$ o simplemente por $< a_0, \dots, a_m >$. Los puntos $a_j$ se llaman vértices del símplice.

Por ejemplo, los puntos son 0-símplices, los segmentos son 1-símplices, los triángulos son 2-símplices, los tetraedros son 3-símplices,... Supondremos siempre que los vectores $\vec{a_0 a_j}$ son linealmente independientes.

Con las notaciones de esta definición, pongamos $x^0 = 1-(x^1 + \dots + x^k)$. Entonces, como $\vec{a_0 a_0}$ es el vector cero, tenemos $\vec{a_0 x} = x^0 \vec{a_0a_0} + x^1 \vec{a_0 a_1} + \dots + x^k \vec{a_0 a_k}$. Es fácil de ver que, debido a que la suma de coeficientes es 1, para cualquier punto $p$ se cumple también que $ \vec{p x} = x^0 \vec{pa_0} + x^1 \vec{p a_1} + \dots + x^k \vec{p a_k}.$ Es esta situación se escribe simplemente $$ x = x^0a_0 + \dots + x^k a_k $$

Se llaman caras de dimensión $h$ de un símplice $< a_0, \dots, a_k >$ a los símplices determinados por un subconjunto de sus vértices con $h+1$ elementos. Los vértices son caras de dimensión 0. Las caras de dimensión 1 se llaman aristas.

Un poliedro $\pmb K =(K^{(k)})$ en $\mathbb R^n$ es una familia finita de conjuntos finitos $K^{(k)}$ de k-símplices, que llamaremos los k-símplices de $\pmb K$, de forma que
    1. Las caras de símplices de $\pmb K$ son símplices de $\pmb K$.
    2. La intersección de dos símplices de $\pmb K$ es vacía o una cara común a los dos símplices.

Se llama realización de un poliedro a la unión de sus k-símplices; es pues un subespacio de $\mathbb R^n$.

Dos poliedros diferentes pueden tener la misma realización. En este caso, los grupos de homología simplicial de los dos poliedros coinciden. Por este motivo se habla indistintamente de los grupos de homología de un poliedro o de los grupos de homología de su realización.

Vamos a considerar dos poliedros muy sencillos y decir qué grupos de homología queremos que tengan. Con esto pretendo motivar la definición formal de estos grupos.

El poliedro $\pmb K$ tiene con 4 vértices, 5 aristas y 1 triángulo. El grupo cero de homología, $H_0(\pmb K)$, es siempre un producto de tantas copias de $\mathbb Z$ como arco-componentes tiene la realización. En este ejemplo solo hay una componente y $H_0(\pmb K) = \mathbb Z$. Observemos que para comprobar que la realización es arco-conexa basta ver que cualquier par de vértices se pueden unir por un camino de aristas.

El grupo uno de homología, $H_1(\pmb K)$, queremos que nos diga cuantos agujeros tiene $\pmb K$, entendidos como caminos cerrados de aristas que no bordean una unión de triángulos. Nuestro poliedro $\pmb K$ tiene uno (que se puede recorrer varias veces en uno u otro sentido). En este caso tendremos $H_1(\pmb K)=\mathbb Z.$

El poliedro $\pmb K$ no tiene símplices de dimensión superior a 2 y tendremos $H_k(X) = 0$, para $k \geq 2.$

El poliedro $\pmb {K'}$ está formado por las caras de un tetraedro: 4 vértices, 6 aristas, y 4 triángulos. Su realización es arco-conexa: $H_0(\pmb{K'}) = \mathbb Z$. Además no hay caminos cerrados que no sean bordes de unión de triángulos. Por ejemplo, el camino rojo de la figura es borde de la unión de los triángulos $< a_0, a_1, a_2 >$ y $< a_1, a_3, a_2 >$ . Por lo tanto $H_1(\pmb{K'}) = 0$.

Ahora bien, las cuatro caras son una unión de triángulos sin borde y que tampoco es borde de ninguna unión de 3-símplices, puesto que no hemos tomado 3-símplices, nuestro poliedro es un tetraedro vacío. Esto hará que tengamos $H_2(T) = \mathbb Z$.

No hay duda de que todo lo que acabamos de decir es muy impreciso. Se hacen imprescindibles definiciones claras y un desarrollo sistemático, en otras palabras, es necesario traducir estas nociones al lenguaje matemático.

Sea $\pmb K$ un poliedro. Los caminos cerrados son una serie de aristas tales que el final de cada arista es origen de otra arista. Si $< a,b >$ es una arista de origen $a$ y final $b$, llamaremos borde de $< a,b >$ a la expresión simbólica $$ \partial < a,b > = b - a $$ Podemos expresar un camino (también de forma simbólica) como una suma de aristas: $c = < a_1, b_1 > + < a_2, b_2 > + \dots + < a_m, b_m >$. Se define el borde de $c$ como $$ \partial c = \partial < a_1, b_1 > + \dots + \partial < a_m, b_m > = (b_1 - a_1) + \dots + (b_m - a_m) $$ donde, si un vértice aparece con signo positivo y negativo, se cancelan. El camino $c$ es cerrado si los vértices que aparecen con signo positivo coinciden con los que aparecen con signo negativo. Así resulta que el camino $c$ es cerrado si: $\partial c = 0$ (entendiendo por 0 que todos los vértices se han cancelado).

Para dar sentido a todas estas sumas y restas simbólicas vamos a definir los grupos de cadenas de un poliedro.

Sea $\pmb K$ un poliedro. Llamamos k-ésimo grupo de cadenas (simpliciales) o k-cadenas de $\pmb K$ al conjunto de expresiones del tipo $x^1 s_1 + \dots + x^m s_m$, donde los coeficientes $x^1, \dots, x^m$ son enteros y $s_1, \dots, s_m$ son los k-símplices de $\pmb K$. Definimos una operación suma sumando dos expresiones componente a componente: $$ (x^1 s_1 + \dots + x^m s_m) + (y^1 s_1 + \dots + y^m s_m ) = (x^1+y^1) s_1 + \dots + (x^m + y^m) s_m $$ Las k-cadenas con la suma forman un grupo que designaremos por $C_k(\pmb K)$.

La aplicación que hace corresponder a cada $x^1 s_1 + \dots + x^m s_m \in C_k(\pmb K)$ la m-pla de enteros $(x^1, \dots, x^m) \in \mathbb Z^m$ es una biyección que conserva la suma. $$ \begin{array}{ccc} x^1 s_1 + \dots + x^m s_m & \leftrightarrow & (m_1, \dots, m_k) \\ n_1 c_1 + \dots + n_k c_k & \leftrightarrow & (n_1, \dots, n_k) \\ \hline (m_1+n_1) c_1 + \dots +(m_k + n_k) c_k & \leftrightarrow & \left( (m_1+n_1), \dots, (m_k+n_k) \right) \end{array} $$ Es decir, es un isomorfismo: $C_k(\pmb K) \cong \mathbb Z^m$.

Podemos generalizar la definición de borde de una arista a todo el grupo $C_1(\pmb K)$: $$ \partial : C_1(\pmb K) \longrightarrow C_0(\pmb K), \qquad \partial (x^1 \alpha_1 + \dots + x^m \alpha_m) = x^1 \partial(\alpha_1) + \dots + x^m \partial(\alpha_m) $$ donde las $\alpha_j$ son aristas. En general, una vez se tenga definido el borde de los k-símplices, $\partial s_j \in C_{k-1}(\pmb K)$, podremos extender la definición a todo el grupo de k-cadenas poniendo $$ \begin{array}{rccc} \partial : & C_k(\pmb K) & \longrightarrow & C_{k-1}(\pmb K) \\ &c = x^1 s_1 + \dots + x^m s_m & \mapsto & \partial c = x^1 \partial s_1 + \dots + x^m \partial s_m \end{array} $$

Ahora bien, para definir el borde de una arista $\partial < a, b > = b-a$, hemos supuesto que la arista tenía un origen $a$ y un final $b$, es decir, que está orientada. De igual manera, para definir el borde de un k-símplice vamos a necesitar que esté orientado. Resultará que los grupos que obtengamos serán los mismos para cualquier orientación que hayamos utilizado, pero necesitamos fijar una orientación para definir el operador borde.

Un símplice orientado es un símplice junto con un orden de sus vértices: $< a_0, \dots, a_k >$. Cualquier orden que se obtenga aplicando al orden fijado una permutación par representa el mismo elemento en $C_k(\pmb K)$. Si se aplica una permutación impar representa el elemento opuesto.

Una permutación par es la que consiste en intercambiar un número par de veces la posición de pares de vértices. Una permutación impar es la que consiste en intercambiar un número impar de veces la posición de pares de vértices.

Así pues, para las aristas $\, < b, a > = - \, < a, b >$. Lo cual es coherente con que $$ \partial (< b, a >) = a-b = - (b-a) = \partial (-\, < a, b >) $$ Para los 2-símplices $$ < a,b,c > = < b,c,a > = < c,a,b > = -\, < a,c,b > = -\,< c,b,a > = - < b,a,c > $$

Podemos ahora definir el borde de un símplice orientado.

El borde de un k-símplice es $$ \partial < a_0, \dots, a_k > = \sum_{j=o}^k (-1)^j < a_0, \dots, \hat{a_j}, \dots, a_k > $$ donde el circunflejo indica que ese vértice se elimina.

En particular, para las aristas se obtiene $\quad\partial < a_0,a_1 >=< \hat{a_0}, a_1 > - < a_0, \hat{a_1} > = a_1 - a_0$.

Para los 2-símplices tenemos $$ \begin{array}{l} \partial < a_0, a_1, a_2 > \\ = < a_1, a_2 > - < a_0, a_2 > + < a_0, a_1 > \\ = < a_1, a_2 > + < a_2, a_0 > + < a_0, a_1 > \end{array} $$ Es decir, las aristas orientadas según el sentido de giro en que hemos tomado los vértices del triángulo.

La orientación de un 2-símplice se indica con un sentido de rotación, como hemos hecho en este dibujo. En el caso de los 3-símplices se indica con un signo helicoidal: giro según la orientación de una de las caras y avance hacía el cuarto vértice.

Es fácil de comprobar que el borde de la cadena $\partial < a_0,a_1, a_2 >$ es 0. Efectivamente, puesto que por cada arista que llega a un vértice hay una que sale de él.

Para los 3-símplices tenemos $$ \begin{array}{l} \partial < a_0, a_1, a_2,a_3 > \\ = < a_1,a_2,a_3 > - < a_0,a_2,a_3 > + \\ < a_0,a_1,a_3 > - < a_0,a_1,a_2 > \end{array} $$

Es fácil de comprobar que el borde de la cadena $\partial < a_0,a_1, a_2,a_3 >$ es 0. Efectivamente, puesto que cada arista aparece en el borde de dos caras, una vez con signo positivo y otra con signo negativo.

Se llama complejo de cadenas de un poliedro $\pmb K$ a la sucesion de grupos y aplicaciones $$ \dots C_{k+1}(\pmb K) \stackrel{\partial}{\longrightarrow} C_k(\pmb K) \stackrel{\partial}{\longrightarrow} C_{k-1}(\pmb K) \longrightarrow \dots \longrightarrow C_1(\pmb K) \stackrel{\partial}{\longrightarrow} C_0(\pmb K) \stackrel{\partial}{\longrightarrow} 0 $$

Tenemos $C_k(\pmb K) \cong \mathbb Z^m$, donde $m$ es el número de k-símplices de $\pmb K$. Las aplicaciones $\partial$ son morfismos de grupos, es decir, aplican la suma de dos cadenas en la suma de sus imágenes. Además, se comprueba que siempre la composición de dos consecutivas es la aplicación cero: $\partial\partial = 0.$

Los caminos de aristas cerrados están representados por cadenas de $C_1(\pmb K)$ cuyo borde es $\partial c = 0$. Que $c$ bordee un conjunto de triángulos equivale a que sea imagen de una cadena de $C_2(\pmb K)$.

Análogamente, una cadena $c \in C_2(\pmb K)$ cuyo borde sea 0 pero ella misma no sea borde de ninguna cadena de $C_3(\pmb K)$ bordea una cavidad. Por ejemplo, las caras de un tetraedro son un poliedro $\pmb K$ con 4 vértices, 6 aristas y 4 2-símplices (sin tomar el 3-símplice). Tomadas en el orden de la figura de más arriba forman una cadena de borde 0, pero no son borde puesto que $\pmb K$ no tiene el 3-símplice.

Lo anterior se puede generalizar a cualquier dimensión. Los grupos de homología nos van a dar, en cierto modo, una medida de las cadenas que tienen borde 0 aunque ellas no son borde. Pero para esto necesitamos un poco de álgebra.

Observación. Hay una diferencia importante entre los caminos que se utilizan para definir el grupo fundamental y los caminos de aristas. En aquel caso está fijado un sentido de recorrido. Aquí cada arista está orientada pero no hay prefijado en que orden se recorren las aristas: al llegar al final de una arista podemos continuar por cualquiera de las que salgan. Para ello basta que todo vértice lo sea de un número par de aristas, la mitad que lleguen a él y la mitad que salgan. La figura muestra un ejemplo. Además hay que tener en cuenta que cada arista puede aparecer varias veces y influirá, sin duda, en la posible cadena de 2-símplices de la que el camino sea borde. Realmente, es mucho más correcto hablar de cadenas que de caminos.