Construcciones homeomorfas

Un espacio topológico $(X, \tau)$ puede estar dado diciendo cuales son el conjunto $X$ y la familia de abiertos $\tau$. Así definimos los espacios topológicos inducidos por una métrica, y los demás ejemplos del primer capítulo. Pero también puede estar dado por algunas de las construcciones explicadas en este capítulo. A menudo, una y otra manera nos conducen al mismo espacio, o deberíamos decir con más precisión, a espacios homeomorfos. Ya hemos visto un ejemplo, el toro, que puede definirse como un espacio cociente o como un subespacio de $\mathbb R^3$. (Ver aquí.)

Tener varios modelos homeomorfos del mismo espacio topológico resulta útil en muchas ocasiones. Según lo que queramos hacer con el espacio, uno u otro modelo puede ser más fácil de manejar. Por ejemplo, supongamos que estamos comparando dos caminos cerrados que recorren un toro dando un cierto número de vueltas en cada sentido. A estos caminos se les llama nudos tóricos y la figura muestra dos, en rojo y verde que dan $(3,2)$ y $(2,3)$ vueltas respectivamente. Los podemos dibujar sobre un rectángulo en el que consideramos cada borde identificado con su opuesto; así aparece en la figura de la izquierda. O también los podemos dibujar sobre el modelo tridimensional; así aparece en la figura de la derecha. En general, la figura de la izquierda nos será más cómoda para ver, por ejemplo, en cuantos puntos se cortan.

El que hayamos hecho pasar los dos nudos por el vértice del rectángulo no es ninguna restricción. Para darse cuenta de ello, observemos que dado cualquier punto $p$ sobre la superficie de un toro tridimensional, podemos hacer dos cortes perpendiculares, aplanar el resultado, y obtener un rectángulo cuyo vértice es el punto $p$. Para reconstruir el toro habrá que identificar los lados opuestos de nuevo.

Algo parecido se podía decir sobre la banda de Möbius: la podemos considerar como un rectángulo con dos lados opuestos identificados convenientemente, o bien como un subespacio de $\mathbb R^3$. La comodidad de una representación plana con identificaciones es aun más evidente si el espacio no tiene un modelo tridimensional sino de una dimensión superior. Es el caso de los dos ejemplos que vamos a dar más adelante en esta sección: la botella de Klein y el plano proyectivo.

La topología producto y métrica de $\mathbb R^n$

La topología producto de $\mathbb R^n$ está formada por productos de intervalos, es decir paralelepípedos $n$-dimensionales, y sus uniones. En particular contiene los cubos $n$-dimensionales que dan lugar a la misma topología que las bolas. Como cualquier paralelepípedo es a su vez unión de cubos, la topología producto de $\mathbb R^n$ coincide con la usual, definida por las bolas.

Ejemplo del toro como producto

Consideremos la aplicación $$ f: I \times I \to S^1 \times S^1, \qquad f(t,s) = (e^{2\pi t i}, \, e^{2\pi s i}) $$ donde utilizamos la notación $e^{\theta i} = ( \cos \theta, \sin \theta)$. Dos puntos de $I \times I$ tienen la misma imagen por $f$ si, y solo si, tienen la misma imagen por la proyección sobre el toro. Tenemos pues una biyección $\varphi$ tal que $$ f: I \times I \stackrel{p}{\longrightarrow} I\times I /{\sim} \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} S^1 \times S^1 $$ $f$ es continua puesto que las composiciones sobre cada factor $S^1$ son las aplicaciones $cos$ y $sin$ que son continuas. Por tanto, $\varphi$ es continua. El espacio $I \times I /{\sim}$ es imagen de un cerrado y acotado del plano y $S^1 \times S^1 \subset \mathbb R^4$. (Observemos que en $S^1 \times S^1$, la topología producto coincide con la métrica.) Por el resultado, que ya hemos utilizado varias veces (ver aquí), $\varphi$ es un homeomorfismo.

Ejemplo de la botella de Klein

La botella de Klein, que denotaremos por $\mathbf{K}$, es el espacio cociente de $I \times I$, $\, I = [0 ,1]$, por la relación de equivalencia determinada por $$ (x,0) \sim (x,1), \qquad (0,y) \sim (1,1-y) \qquad \mbox{ para todo } \quad x,y \in [0,1] $$ Identificando los bordes horizontales obtenemos un cilindro. En el caso del toro, las dos circunferencias del borde del cilindro, es decir los bordes verticales, se identifican conservando la orientación. Ahora cambia la orientación. La única manera de conseguirlo es accediendo al "interior" del cilindro:

A diferencia del toro que es un subespacio de $\mathbb R^3$ que lo divide en dos partes, una interior y otra exterior, se puede demostrar que la botella de Klein no es homeomorfa a nigún subespacio de $\mathbb R^3$; en la figura lo hemos representado tridimensionalmente como si atravesara su propia pared. Existe una realización en $\mathbb R^4$, aunque no divide al espacio en dos partes no comunicadas. Podemos visualizar una realización de la botella de Klein en dimensión cuatro tomando como cuarta coordenada el tiempo, que suponemos que podemos recorrer hacía delante y hacía atrás. En un tiempo fijo realizamos todo el espacio salvo la zona en que cruza la pared; avanzamos entonces en el tiempo, atravesamos la pared, que de hecho en este nuevo tiempo no existe, y volvemos al tiempo de partida.

Ejemplo del plano proyectivo

El plano proyectivo se puede definir como el cociente del espacio $\mathbb R^3 \setminus \{0\}$ por la relación que identifica todos los puntos situados sobre una misma recta que pase por el origen $$ x = (x_1, x_2, x_3) \, \sim \, y = (y_1, y_2, y_3) \quad\Leftrightarrow\quad \text{ existe } \lambda \in \mathbb R, \quad y = \lambda x $$

Cada una de las rectas por el origen corta a la esfera unidad $S^2 = \{ (x_1, x_2, x_3) \mid (x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 = 1 \}$ en dos puntos antipodales. La relación anterior induce una sobre $S^2$ que identifica puntos antipodales.

Por otra parte, cada una de las rectas por el origen corta al hemisferio $H_+ = \{ (x_1, x_2, x_3) \in S^2 \mid x_3 \geq 0 \}$ en un punto, salvo en el ecuador donde corta en dos puntos antipodales. La relación inducida en este hemisferio identifica solo puntos antipodales del ecuador.

Ahora bien, $H_+$ es homeoformo al disco $E^2 =\{(x_1, x_2) \in \mathbb R^2 \mid (x_1)^2 + (x_2)^2 \leq 1 \}$ y la relación anterior induce una en este disco que identifica puntos antipodales del borde $S^1 = \{ (x_1, x_2) \in \mathbb R^2 \mid (x_1)^2 + (x_2)^2 = 1 \}.$

Todos estos espacios cocientes resultan ser homeomorfos. Tenemos pues tres modelos del plano proyectivo que designaremos indistintamente por ${\mathbf P}^2$.

El hecho de que el cociente de la esfera $S^2$ y el de su subespacio $H_+$ es consecuencia del un resultado que veremos al estudiar la compacidad y que hemos usado ya varias veces. Para probar que la biyección que existe entre los cocientes $\mathbb R^3\setminus\{(0,0)\}\, /\,{\sim}\to S^2 / {\sim}$ no podemos utilizar ese resultado. En este caso se puede comprobar directamente que la biyección aplica abiertos en abiertos y es, por tanto, un homeomorfismo.

El Conjunto de Cantor como producto

Ya hemos hablado del conjunto de Cantor y hemos dado dos definiciones del mismo. Uno de los modelos es un subespacio de la recta con la topología inducida por la distancia usual. Pero además resulta que el conjunto de Cantor tiene otro modelo sorprendente: es homeomorfo a un producto de infinitas copias de un espacio formado por dos puntos con la topología discreta. Este modelo resulta cómodo para la obtención de algunas propiedades del conjunto de Cantor.

Proposición. El Conjunto de Cantor $K$ es homeomorfo al producto de un infinidad numerable de copias del conjunto $\{0, 2\}$ con la topología discreta. La biyección $$ \varphi: K \longrightarrow \prod_{j\in \mathbb N} \{0, 2\}, \qquad \varphi( \sum_{j \in \mathbb N} \frac{a_j}{3^j} ) = (a_j), \qquad a_j \in \{0, 2\} $$ es un homeomorfismo.

Demostración

La demostración utiliza la siguiente distancia que se puede definir en le producto de una numerabilidad de espacios métricos $(X_j, d_j)$, $\, j \in \mathbb N$, con distancias acotadas por $1$. Esta condición no es ninguna restricción desde el punto de topológico, puesto que cualquier distancia $d$ da lugar a la misma topología que la distancia $$ d'(x,y) = \min{(d(x,y), 1)} $$

Proposición. Sean $(X_j, d_j)$, $\, j \in \mathbb N$, espacios métricos tales que $d_j(x_j,y_j)$ es siempre $\, \leq 1$. Dados dos puntos cualesquiera del producto $X = \prod_j X_j$, $\, x=(x_j),\, y=(y_j) \in X$, definimos una distancia por $$ d(x,y) = \sum_{j=1}^\infty \frac{d_j(x_j, y_j)}{2^j} $$ La topología producto en $X$ coincide con la topología asociada a la métrica $d$.

Demostración.