Conexidad local

Un espacio se dice que es localmente conexo si para todo entorno abierto de un punto, $x \in U$, existe un entorno abierto conexo $V$ de $x$ contenido en $U$: $\, x \in V \subset U$.

Un espacio se dice que es localmente arco-conexo si para todo entorno abierto de un punto, $x \in U$, existe un entorno abierto arco-conexo $V$ de $x$ contenido en $U$: $\, x \in V \subset U$.

Como arco-conexo implica conexo, localmente arco-conexo implica conexo.

Ejemplos

1. $\mathbb{R}^n$, con $n \geq 1$, es conexo, arco-conexo y también localmente conexo y localmente arco-conexo. En cambio, $\mathbb{Q}$ no tiene ninguna de estas propiedades.

2. El subespacio $(0,1) \cup [2,3]$ de $\mathbb{R}$ no es conexo ni arco-conexo, pero es localmente conexo y localmente arco-conexo.

Las propiedades locales hacen que las componentes conexas (o arco-conexas) sean abiertos. Incluso que coincidan, en el caso de la arco-conexidad local.

Proposición. 1. Las componentes conexas de un espacio localmente conexo son abiertas (y cerradas).

2. Si un espacio es localmente arco-conexo, sus componentes arco-conexas son abiertas y cerradas.

3. Si un espacio es localmente arco-conexo sus componentes conexas y arco-conexas coinciden. En particular, todo espacio conexo y localmente arco-conexo, es arco-conexo.

Demostración.

Ejemplo

Consideremos el espacio $\; X = \{(x,\sin{\frac{\pi}{x}})\,|\, \forall x \in (0,+\infty)\} \cup \{(0,0)\}$

Como ya dijimos en la sección sobre conexidad, $X$ es conexo pero no arco-conexo. Tampoco es localmente conexo ni localmente arco-conexo, ya que el entorno $\, B\left( (0,0), \, \frac14 \right) \cap X\,$ del origen no contiene ningún entorno conexo ni arco-conexo. La demostración de que no era arco-conexo se basaba precisamente en el hecho de que no fuera localmente arco-conexo (ver aquí).

Veamos ahora como se heredan (es decir, conservan) las propiedades de conexidad al tomar subespacios, hacer productos o tomar imágenes por aplicaciones continuas.

Un subespacio de un espacio localmente conexo puede no serlo. Un subespacio de un espacio localmente arco-conexo puede no serlo. Un ejemplo de los dos hechos es $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, en el que no se conservan ninguna de las propiedades de conexidad.

Si intentamos probar que la imagen de un espacio localmente conexo $X$ por una aplicación continua $f: X \to Y$ es también localmente conexo nos encontramos que, aunque la imagen de un conexo es conexo, la imagen de un abierto no tiene por qué ser un abierto. Así, la existencia de un entorno abierto y conexo en $X$ no asegura que exista en $f(X)$. Lo mismo pasa con la arco-conexidad. Sin embargo, el resultado es cierto para espacios cocientes.

Proposición. Sea $f: X \to Y$ una identificación. Es decir, $f$ es exhaustiva y los abiertos de $Y$ son los subconjuntos cuya antiimagen por $f$ es abierta. Entonces, $$ \begin{array}{lcl} X \quad \text{ localmente conexo } & \quad \Rightarrow\quad & Y \quad \text{ localmente conexo} \\ X \quad \text{ localmente arco-conexo} &\quad \Rightarrow\quad & Y \quad \text{ localmente arco-conexo} \end{array} $$

Demostración.

Proposición. El producto de un número finito de espacios localmente conexos es localmente conexo.

Demostración.

Si el producto de espacios es localmente conexo ¿qué podemos decir de cada uno de los espacios factores?. Recordemos que la proyección de un producto de espacios sobre cada uno de ellos, $$ X = \prod_{j\in J} X_j \longrightarrow X_k $$ es abierta y, por tanto, una identificación. En particular, si el producto $X$ es localmente conexo, todos los espacios tienen que serlo.

Sea $W$ un abierto conexo del producto $X$ de una infinidad de espacios. Por la definición de abiertos del producto, existen una infinidad de proyecciones cuyas restricciones a $W$ son exhaustivas $$ W \hookrightarrow \prod_{j \in J} X_j \longrightarrow X_k $$ Para todas ellas, $X_k$ es conexo por serlo $W$. Es decir, para que un producto de espacios sea localmente conexo es necesario que un número finito de espacios lo sean, y el resto sea conexo.

Lo mismo es cierto para espacios arco-conexos.