Curso básico de Topología
Conjunto de Cantor
Vamos a definir en esta sección un conjunto muy interesante por sus muy curiosas propiedades y porque no es extraño de encontrarlo en muy diferentes contextos: el conjunto de Cantor. El conjunto de Cantor es el mejor y más antiguo ejemplo de fractal, anterior incluso a la introducción de este concepto. Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. (Esta es la idea básica, no una definición matemática rigurosa.) Muchos objetos de la naturaleza presentan una estructura fractal y las aplicaciones de la Teoría de Fractales, relacionadas con la Teoría del Caos, son cada día más numerosas.
Existen varias maneras de definir un conjunto de Cantor. Aquí vamos a dar una definición aritmética y otra geométrica. Más adelante, en Construcciones homeomorfas de espacios topológicos, veremos que también se puede definir como producto.
El conjunto de Cantor es el siguiente subconjunto del intervalo unidad $[0, 1]$ $$ K := \left\{\, \frac13 a_1 + \frac19 a_2 + \dots + a_n \frac{1}{3^n} + \dots = \sum_{n \in \mathbb N} a_n\frac{1}{3^n}\, \mid a_n \in \{0, 2\}\, \right\} $$ dotado de la topología asociada a la distancia usual de $[0,1]$.
La interpretación geométrica es la siguiente. Tomemos
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$F_1 = [0,1]$.
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Es decir, en cada $F_n$ suprimimos el tercio central (abierto) de los intervalos del $F_{n-1}$. Observemos que $$ 0.a_1a_2\dots a_n\dots := \frac13 a_1 + \frac19 a_2 + \dots + a_n \frac{1}{3^n} + \dots $$ es de $F_2$ si, y solo si, $a_1\in \{0, 2\}$. Aparentemente el punto $\frac13$ podría haber sido suprimido, pero resulta que $\, 0.100\dots = 0.022\dots$: $$ 0.022\dots = \frac29 + \dots + \frac {2}{3^n} + \dots = \frac29 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n} = \frac13 $$ [Recordar la fórmula de la suma de una serie geométrica de razón $r < 1$: $\,\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}$. ] Esta doble notación ocurrirá solo cuando, a partir de un lugar, tengamos $1000\dots$ lo que equivale a tener $0222\dots$. Esto justifica que el conjunto $F_{n}$ contenga todos los puntos para los que la expresión $0.a_1a_2\dots a_n\dots$ tenga los $n-1$ primeros dígitos en $\{0,2\}$. El conjunto de Cantor es pues el conjunto de puntos que pertenecen a todos los $F_n$: $$ K\,=\, \bigcap_{n=1}^\infty F_n $$
Las longitudes de los intervalos suprimidos suman $\, \frac13 + \frac19 + \dots + \frac{1}{3^n}+ \dots = 1$. En particular, $K$ no puede contener ningún intérvalo y, por tanto, su interior es vacío $K^\circ = \emptyset$
Todos los $F_n$ son cerrados, por tanto $K$ que es su intersección, también es cerrado: $\overline K = K$.
Un subconjunto $A$ de un espacio topológico $X$ es denso
en $X$ si $\overline{A} = X$
Un subconjunto $A$ de un espacio topológico $X$ es denso
en ninguna parte si $\overline{A}$ no contiene ningún abierto no vacío.
El conjunto de Cantor es denso, y denso en ninguna parte.
Otro hecho curioso es que $K$ tiene tantos puntos como $[0,1)$, es decir, existe una biyección entre estos dos conjuntos: $\, f: [0,1) \to K$ definida de la siguiente manera. Los puntos $ x \in [0, 1)$ pueden escribirse en la forma $\, x = \sum_{n = 0}^\infty b_n\, \frac{1}{2^n}$, con $\, b_n \in \{0, 1 \}$. Definimos su imagen por $$ f(x) = \sum_{n = 0}^\infty (2b_n)\,\frac{1}{3^n} \in K $$