Cocientes e identificaciones

Sea $(X, \tau)$ un espacio topológico y $\sim$ una relación de equivalencia definida en el conjunto $X$, es decir, un conjunto de pares ordenados que denotaremos por $\,x \sim y\,$. (Ver aquí). Para que $\, \sim\,$ sea una relación de equivalencia debe cumplirse que los conjuntos de puntos equivalentes entre sí sean disjuntos y cubran todo $X$. Lo cual equivale a que se cumplan las condiciones

1. $x \sim x$, para todo $x \in X$. (Propiedad reflexiva)
2. $x \sim y \quad \Rightarrow \quad y \sim x$. (Propiedad simétrica)
3. $x \sim y, \,\, y \sim z \quad\Rightarrow\quad x \sim z$. (Propiedad transitiva)

Cada uno de los conjuntos de puntos relacionados entre sí se llama una clase de equivalencia. Designaremos por $[x]$ la clase de equivalencia que contiene a $x$ y por $X/\sim$ al conjunto de clases de equivalencia.

Sea $A \subset X$. Designaremos por $X/A$ al espacio cociente por la relación $\, x \sim y \quad\Leftrightarrow\quad x=y \quad\text{ o } \quad x, y \in A$.

Nuestro objetivo es definir una topología en $X/\sim$. Empecemos por un ejemplo.

Ejemplo del cono

Consideremos el subespacio del plano $Q=[-1, +1] \times [0, +1]$ y en él la relación de equivalencia en la que cada punto es equivalente solo a él mismo, salvo los puntos con segunda coordenada $+1$ que son todos equivalentes entre sí: $$ (x, 1) \sim (y, 1), \qquad \text{ para todo } \, \, x, y \in [-1, 1] $$ Es decir, partiendo del rectángulo $Q$, encogemos el borde superior reduciéndolo a un punto. Podemos ilustrar la proyección $f: Q \to Q/{\sim} = Q /\left([-1,1]\times\{1\}\right)$ con la figura:

En esta figura hemos representado el cociente como el subespacio del plano: $$ K = \{(x,y) \mid 0 \leq y \leq 1+x, -1\leq x\leq 0\} \cup \{ (x,y) \mid 0 \leq y \leq 1-x, \, 0 \leq x \leq 1 \} $$ porque tiene el "mismo número de puntos", es decir la misma cardinalidad, lo que quiere decir que existe una biyección entre los puntos de $K$ y los del cociente. En efecto, la aplicación $f$ está definida por $\, f(x,y) = ((1-y)x, y)$ y aplica homeomórficamente el intervalo en rojo de la izquierda en el de la derecha, y el borde superior en el vértice del cono imagen. Es decir, $f$ aplica dos puntos en el mismo punto si, y solo si, están relacionados por $\sim$. Esto permite descomponer $f$ a través del cociente $$ f: Q = [-1,1] \times [0,1] \stackrel{p}{\longrightarrow} Q/{\sim} \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} K $$ de forma que la aplicación $\varphi$ es una biyección.

Nuestro objetivo ahora es dotar al cociente $Q/{\sim}$ de una topología, a la que es natural exigirle, al menos, que haga continua la proyección $p$. Hecho esto, $\varphi$ resultará ser, o no, un homeomorfismo del cociente en el subespacio $K$. En caso de serlo (en este caso lo es) $K$ es un buen modelo del espacio cociente.

Sea $\sim$ una relación de equivalencia en un espacio topológico $X$. Designemos por $\, p: X \to X/ \sim$ la proyección de cada punto en la clase de equivalencia que lo contiene. Se llama espacio topológico cociente al conjunto $X/{\sim}$ junto con la familia de subconjuntos $W \subset X/{\sim}$ cuya antiimagen $\,p^{-1}(W)$ es un abierto.

Proposición. Los subconjuntos de $X/{\sim}$ de la definición anterior forman efectivamente una topología.

Demostración.

Con esta definición se consigue que la proyección $p$ sea continua. Claro que esto se puede conseguir con muchas otras topologías. Por ejemplo, si en el cociente solo tomamos como abiertos el vacío y el total. Realmente, lo que hemos hecho es llamar abiertos a todos los subconjuntos que no nos rompen la continuidad de $p$. O dicho de otra forma, hemos tomado el máximo de abiertos posible, con la condición de que $p$ sea continua.

El enunciado que sigue nos dice que el espacio topológico $X/{\sim}$ cumple las propiedades que conviene que cumpla.

Proposición.
1. La proyección $p: X \to X/{\sim}$ es continua.

2. Una aplicación $f: X/{\sim} \to Y$ es continua si, y solo si, la composición $$ f \circ p: X \longrightarrow X/{\sim} \longrightarrow Y $$ es continua.

Demostración.

El segundo punto del enunciado proporciona una manera fácil de comprobar la continuidad de una aplicación definida sobre un cociente.

Observar el paralelismo entre estas propiedades del cociente y las del producto. En el caso del producto se obtenía una equivalencia de la continuidad con la continuidad de las composiciones con las proyecciones.

Ejemplo del cono (de nuevo)

Proposición. Sea $\varphi: A \to B$ una biyección continua con imagen en un $B \subset \mathbb R^m$. Si $A$ es imagen por una aplicación continua de un cerrado y acotado de un espacio $\mathbb R^n$, entonces $\varphi$ es un homeomorfismo.

Ejemplo del toro

Consideremos el cuadrado $I\times I$, donde $I = [0,1]$ es el intervalo unidad. Definimos la relación de equivalencia: $$ (x,0) \sim (x,1), \qquad (0,y) \sim (1,y), \qquad\quad \text{para todo } x, y \in I $$ y el resto de puntos relacionados solo consigo mismo. El conjunto cociente identifica cada arista del cuadrado con su opuesta:

que es el subespacio $\mathbf T \subset \mathbb R^3$ que se obtiene haciendo girar la circunferencia $\, \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid (3-x)^2 + z^2 = 1\} \, $ alrededor del eje vertical $x = y = 0$. Así $$ \mathbf T = \{ (x,y,z)\mid \left( 3 - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = 1 \} $$
La aplicación $$ f: I \times I \longrightarrow \mathbf T , \qquad f(t, s) = \left( (\cos(2\pi s) + 3)\cos(2\pi t),\, (\cos(2\pi s) + 3)\sin(2\pi t), \sin(2\pi s) \right) $$ aplica dos puntos en el mismo si, y solo si, son equivalentes. Por tanto, induce una biyección $\varphi$ en el cociente, tal que $$ f : I \times I \stackrel{p}{\longrightarrow} I \times I / {\sim} \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} \mathbf T $$ $\varphi$ es continua, biyectiva, de un espacio cociente de un cerrado y acotado del plano, $I \times I$, en un subespacio $\mathbf T \subset \mathbb R^3$. Por el resultado que hemos citado más arriba, $\varphi$ es un homeomorfismo.

Ejemplos del cilindro y de la banda de Möbius

Consideremos el cociente de $I\times I$, donde $I=[0,1]$ es el intervalo unidad, por la relación de equivalencia $\, (0,s) \sim (1, s)$. La aplicación $$ f: I\times I \longrightarrow C= \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid x^2 + y^2 = 1, \, 0 \leq z \leq 1 \}, \qquad f(t,s) = (\cos(2\pi t), \sin(2\pi t), z ) $$ aplica dos puntos en la misma imagen si, y solo si, están relacionados por $\sim$. Por lo tanto, podemos escribir $f$ como una composición $$ f: I\times I \stackrel{p}{\longrightarrow} I\times I /{\sim} \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid x^2 + y^2 = 1, \, 0 \leq z \leq 1 \} $$ donde $\varphi$ es una biyección continua entre la imagen de un cerrado y acotado del plano, $I\times I$, y un subespacio $ C \subset \mathbb R^3$. Por tanto, $\varphi$ es un homeomorfismo.

Se llama banda de Möbius al cociente de $I\times I$, donde $I=[0,1]$ es el intervalo unidad, por la relación de equivalencia $\, (0,y) \sim (1, 1-y) $. En este caso el cociente es también homeomorfo a un subespacio de $\mathbb R^3$.

Identificaciones

Cualquier aplicación continua exhaustiva $f: X \to Z$ determina una relación de equivalencia en $X$: $$ x \sim y \quad\Leftrightarrow\quad f(x)=f(y) $$ Los elementos del cociente $X/{\sim}$ son los conjuntos de puntos con la misma imagen, y están en correspondencia biyectiva con los puntos de $Z$. Esto permite descomponer $f$ via el cociente: $$ f: X \stackrel{p}{\longrightarrow} X/{\sim} \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} Z $$ Ya hemos probado que $f$ continua implica $\varphi$ continua.

Diremos que una aplicación continua y exhaustiva $f: X \to Z$ es una identificación si $$ V \subset Z \quad \text{ es un abierto} \qquad\Leftrightarrow\quad f^{-1}(V) \quad\text{ es un abierto de } \,\, X $$

Con las notaciones anteriores $f$ es una identificación si, y solo si, $\varphi$ es un homeomorfismo.

Observemos que, en la definición de identificación, la implicación $\,\,\Rightarrow\,$ es automática, puesto que $f$ es continua. Si $f$ no es una identificación sino solo una aplicación continua exhaustiva, es que hay algún abierto de $Z$ cuya antiimagen no es un abierto de $X$. Es decir, $Z$ tiene demasiados abiertos. Veamos un ejemplo.

Ejemplo: Cono abierto

Recordemos el ejemplo del cono que hemos dado un poco más arriba y consideremos ahora la restricción de la equivalencia al subespacio $A = (-1,+1) \times [0,1]\subset Q$. En este caso, la restricción de $f$ descompone también a través del cociente $$ f_{|A}: A = (-1,1) \times [0,1] \stackrel{p_A}{\longrightarrow} A/{\sim} \stackrel{\varphi_A}{\longrightarrow} H \, \subset \, K $$ donde la imagen $f(A) = H$ es el triángulo $K$ sin dos de los lados: $$ H = \{(x,y) \mid 0 \leq y \leq 1+x, -1 < x\leq 0\} \cup \{ (x,y) \mid 0 \leq y \leq 1-x, \, 0 \leq x < 1 \} $$ $\varphi_A$ sigue siendo una biyección continua: las antiimágenes de abiertos son abiertos. Pero la topología cociente tiene otros abiertos que no son abiertos como subespacios del plano. Por ejemplo la zona en azul de $A$ (intersección de $A$ con el semiplano abierto determinado por la diagonal) es un abierto cuya imagen por $f_{|A}$ no es un abierto de $H$.

En efecto, el vértice superior $(0,1) \in f(A)$ no es un punto interior a la zona azul imagen, puesto que cualquier bola con centro en este vértice tiene puntos de la zona blanca.

Este ejemplo nos dice también que la restricción de una identificación a un subespacio puede no ser una identificación. Tampoco es cierto el producto de una identificación por la identidad continúe siendo una identificación: $$ f: X \longrightarrow Y \quad \text{ identificación } \quad \not\Rightarrow \quad f \times Id: X \times Z \longrightarrow\quad Y \times Z \quad \text{ identificación } $$ La implicación sí es cierta en determinadas condiciones, por ejemplo, si el espacio $Z$ es un intervalo cerrado $Z = [a, b] \subset \mathbb R$. (Ver Compacidad local.)