Productos finitos

Para definir una topología en el producto cartesiano $X \times Y$ parece bastante lógico tomar como abiertos los productos de un abierto de cada uno de los factores: $U_1 \times U_2$. Sin embargo, estos conjuntos no forman una topología: la unión de dos de ellos no tiene por qué ser producto de abiertos. Veamos un ejemplo.

Ejemplo

Consideramos el plano $\mathbb R \times \mathbb R$ como producto de dos rectas con su topología métrica. La unión de los productos de intervalos abiertos en cada una de las rectas:

no puede ponerse como producto de un abierto de cada recta: $U_1 \times U_2$.

En casos como este lo que se hace es añadir a los conjuntos que queremos incluir, que aquí son los conjuntos productos de abiertos, todos los conjuntos que sean necesarios hasta obtener una topología.

Este es un buen momento para leer la sección Bases y subbases del primer capítulo. Los productos de abiertos (los rectángulos) no forman una topología pero, añadiendo las uniones, si obtenemos una topología de la que los rectángulos son una base. En la construcción de espacios nos encontraremos a menudo con esta situación: nos interesa que unos ciertos subconjuntos sean abiertos y ellos no forman una topología. Si recubren el espacios hay siempre una topología mínima en la que son abiertos: la formada por las uniones de sus intersecciones finitas.

Supongamos dado un número finito de espacios topológicos $(X_j, \tau_j)$, $j=1,\dots,k.$ Se llama espacio producto topológico al producto cartesiano $X_1 \times \dots \times X_k$ con la topología definida por los conjuntos $$ U_1 \times \dots \times U_k, \qquad U_j\in \tau_j,\quad j=1, \dots,k $$ y todas sus uniones.

Proposición. La familia de abiertos de la definición anterior forman, efectivamente, una topología.

Demostración.

El enunciado que sigue nos viene a decir que la topología producto cumple con las propiedades que conviene que cumpla.

Proposición.
1. Las proyecciones $p_j: X_1 \times \dots \times X_k \to X_j$, definidas por $\, p_j(x_1, \dots, x_k) = x_j$, son continuas.

2. Una aplicacion $f: Y \to X_1 \times \dots \times X_k$ de un espacio topológico $Y$ en un espacio producto es continua si, y solo si, todas las aplicaciones $$ f_j: Y \stackrel{f}{\longrightarrow} X_1 \times \dots \times X_k \stackrel{p_j}{\longrightarrow} X_j. $$ son continuas.

Demostración.

En particular, dada una función $f: \mathbb R^n \to \mathbb R^m$, si designamos por $f_j: \mathbb R^n \to \mathbb R$ la composición de $f$ con la proyección sobre la $j$-ésima coordenada, $$ f(x_1, \dots, x_n) = \left( f_1(x_1, \dots, x_n), \, \dots, f_m(x_1, \dots, x_n)\right), \qquad (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb R^n $$ el resultado anterior nos dice que $f$ es continua si, y solo si, todas las aplicaciones $f_j$ son continuas.

La propiedad de que la continuidad de una función definida en un producto sea equivalente a la continuidad de su composición con las proyecciones es de suma importancia y, el conservarla, motiva la definición de la topología en el caso de productos infinitos, que daremos más adelante (aquí).