Sumas

Nos queda, dentro de las construcciones estándar de espacios topológicos, considerar la unión de espacios. Si estos son subespacios de un mismo espacio topológico, la unión también lo es y se dota de la correspondiente topología como subespacio. Supongamos pues que son espacios topológicos disjuntos $(X_j, \tau_j)$, $j \in J$, y sea $X= \coprod_j X_j$ su unión, que designamos de esta manera para recalcar que son espacios sin puntos en común. Naturalmente queremos que las inclusiones $\, X_j \hookrightarrow X$ sean homeomorfismos en la imagen. Por lo tanto, la topología de $X$ tendrá que incluir todos los abiertos de las $\,\tau_j$ y todas las uniones de estos abiertos.

Llamaremos espacio topológico suma de los espacios $(X_j, \tau_j)$, $\, j \in J$, a la unión disjunta $X = \coprod_j X_j$ con la topología formada por los abiertos en los $\tau_j$ y sus uniones.

Proposición. Sea $X= \coprod_j X_j$ la suma de los espacios topológicos $(X_j, \tau_j)$, $\, j\in J$.

1. El conjunto $\tau$ formado por todos los abiertos de los $\tau_j$ y sus uniones es una topología.

2. Una aplicación $f: (X, \tau) \to (Y, \rho)$ es continua si, y solo si, todas las composiciones $f\circ \iota_j$ son continuas, donde $\iota_j: X_j \hookrightarrow X$ son las inclusiones naturales.

Demostración