Continuidad, bases y subbases

Recordemos que una base es una familia de abiertos tal que, cualquier abierto es unión de elementos de esa familia. Por su parte, una subbase es una familia de abiertos tal que, cualquier abierto, se obtiene por unión de intersecciones finitas de elementos de la familia.

Por ejemplo, en cualquier espacio métrico, las bolas forman una base de la topología. En particular, los intervalos abiertos $(a,b)$ forman una base de $\mathbb R$. Las semirrectas $(-\infty, b)$ y $(a, +\infty)$, $\, a,b \in \mathbb R$, forman una subbase de $\mathbb R$.

Proposición. Sean $\beta$ y $\mathcal S$ una base y una subbase respectivamente del espacio topológico $Y$. Dada una aplicación $f: X \to Y$ $$ \begin{array}{rl} f \quad \text{ es continua } & \quad\Leftrightarrow\quad f^{-1}(U) \quad \text{ es abierto, para todo } \quad U \in \beta \\ & \quad\Leftrightarrow\quad f^{-1}(S) \quad \text{ es abierto, para todo } \quad S \in \mathcal S \end{array} $$ Demostración

Ejemplos

1. Una función real $f: X \to \mathbb R$ es continua si, y solo si, para todo $a \in \mathbb R$ $$ f^{-1}(-\infty, a) = \{ x \in X \mid f(x) < a\}, \qquad \text{ y } \quad f^{-1}(a, +\infty) = \{ x \in X \mid f(x) > a\} $$ son abiertos.

2. Sea $f: X \to Y$ una aplicación entre dos espacios topológicos y supongamos que $Y$ tiene la topología de los complementarios finitos, es decir, sus abiertos son complementarios de conjuntos finitos. Los complementarios de un punto $Y \setminus \{y\}$ forman una subbase. Por tanto $f$ es continua si, y solo si, para todo $y \in Y$, $$ f^{-1}\left(Y \setminus \{y\}\right) = X \setminus f^{-1}(y) \quad \text{ es abierto, } $$ es decir, las antiimágenes de los puntos, $\, f^{-1}(y)$ son cerrados.