Compacidad local

Un espacio topológico es localmente casi-compacte si todo punto tiene un entorno compacto.

Un espacio es localmente compacto si es Hausdorff y localmente casi-compacto.

En general, cuando se dice que un espacio cumple localmente una propiedad, significa que cualquier entorno de un punto contiene un entorno con esa propiedad. Sin embargo, aquí no hemos definido así un espacio localmente casi-compacto, puesto que no pedimos que el entorno que tiene la propiedad esté dentro de ningún entorno dado. Por ejemplo, un espacio casi-compacto $X$ es siempre localmente casi-compacto, porque $X$ es entorno de todos sus puntos. Ahora bien, si añadimos la condición de Hausdorff, el concepto de localmente compacto resulta ser local en el sentido usual.

Ejemplos

$\mathbb{R}^n$ es localmente compacto, aunque no es compacto. En efecto, todo entorno de un punto $x \in \mathbb{R}^n$ contiene una bola abierta $B(x, \varepsilon)$ y esta una cerrada que es un compacto $$ x \in \overline{B(x, \frac{\varepsilon}{2})} \subset B(x, \varepsilon) \subset \mathbb R^n $$

En cambio, el conjunto de racionales $\mathbb{Q}$ no es localmente compacto. Demostración.

Proposición. Si $X$ es localmente compacto, para todo entorno $U$ de un punto $x\in X$ existe un entorno compacto de $x$ contenido en $U$.

Demostración.

Cuando estudiamos los espacios cocientes (ver aquí) dijimos que estos no se comportaban bien respecto a productos, en el sentido que aunque $f: X \to Y$ fuera una identificación, $f \times Id: X \times Z \to Y \times Z$ no tenía por qué serlo. Sí lo es cuando $Z$ es localmente compacto; en particular, cuando $Z = [0,1]$.

Proposición. Sea $p:X\to Y$ una identificación. Si el espacio $Z$ es localmente compacto, la aplicación $p \times Id : X\times Z \to Y\times Z$ es también una identificación.

Demostración.

Proposición Sean $p:X\to Y$ y $q:W \to Z$ dos identificaciones. Si los espacios $Y$ y $W$ son localmente compactos, entonces la aplicación $$ p \times q : X\times Y \to W\times Z $$ es también una identificación.

Demostración.