Continuidad en espacios métricos

En Cálculo, la continuidad de una función $f: \mathbb R^n \to \mathbb R^m$ expresa el hecho de que, tomando puntos suficientemente próximos, sus imágenes están tan próximas como queramos. De forma más precisa: dado un real positivo $\varepsilon$, tan pequeño como queramos, existe siempre un real positivo $\delta$ tal que

$\hspace{2cm} d(x, y) < \delta \quad\Rightarrow\quad d(f(x), f(y)) < \varepsilon $

Por ejemplo, de las funciones $\, f, g: \mathbb R \to \mathbb R$, dadas por $$ f(x)= x^2, \qquad g(x) = \left\{ \begin{array}{lcl} 0, & \text{ si } & x \leq 0 \\ 6, & \text{ si } & x > 0 \end{array} \right. \qquad f \quad \text{ es continua y} \quad g \quad \text{ no lo es}. $$

Una forma de expresar la continuidad anterior es diciendo que todos los puntos de la bola $B(x, \delta)$ se aplican por $f$ en puntos de la bola $B(f(x), \varepsilon)$.

Se dice que una función $\, f: X \to Y\,$ entre dos espacios métricos es continua en el punto $x$ si, para todo real positivo $\varepsilon > 0$, existe un real positivo $\delta >0$ tal que $$ f\left( B(x, \delta) \right) \subset B(f(x), \varepsilon) $$ Si $f$ es continua en todos los puntos de $X$ se dice simplemente que $f$ es continua.

En las funciones reales se utiliza frecuentemente el hecho de que las funciones continuas son aquellas que transforman sucesiones convergentes en sucesiones convergentes. El resultado es también cierto para espacios métricos en general.

Proposición. Una función entre espacios métricos $f: X \to Y$ es continua si, y solo si, la imagen de cualquier sucesión de $X$ convergente a un punto $x\in X$, converge a $f(x)$.

Demostración.

Para poder generalizar el concepto de continuidad a espacios topológicos en general, deberíamos poder expresarla sin utilizar la distancia, es decir, utilizando solo los abiertos. Y efectivamente, existe una manera de hacerlo.

Proposición. 1. Una aplicación entre espacios métricos, $f: X \to Y$, es continua en un punto $x\in X$ si, y solo si, para todo entorno abierto $U$ de $f(x)$ existe un entorno abierto $V$ de $x$ tal que $\, f(V) \subset U$.

2. La función $f$ es continua en todos sus puntos si, y solo si, la antiimagen de un abierto es un abierto.

Demostración.

Para ver que una aplicación es continua, o bien continua en un punto, basta que comprobar si son abiertas las antiimágenes de las bolas, ya que la antiimagen de un abierto $U$ es unión de las antiimágenes de las bolas cuya unión es $U$. Este es un caso particular de un resultado para bases de un espacio topológico en general; en un espacio métrico el conjunto de bolas es una base.

Ejemplo

La aplicación $f(x)=x^2$, mencionada más arriba, cumple que la antiimagen de cualquier intervalo abierto $(a,b)$, es un abierto. En efecto, $$ \begin{array}{rcl} \text{si}\quad 0\leq a < b & \quad\Rightarrow\quad & f^{-1}(a,b)= ( \, -\sqrt{b},\, -\sqrt{a}) \cup (\sqrt{a},\, \sqrt{b}) \\ \text{si}\quad a < 0 < b & \quad\Rightarrow\quad & f^{-1}(a,b)= ( \, -\sqrt{b},\, \sqrt{b}) \\ \text{si}\quad a < b < 0 & \quad\Rightarrow\quad & f^{-1}(a,b)= \emptyset \end{array} $$ En todos los casos la antiimagen es un abierto. Por tanto $f$ es continua.

En el caso de la aplicación $g$ definida más arriba tenemos que, si $x < 0$, entonces $g(x) = 0$ y, para todo abierto $U \ni 0$ $$ x\in (- \infty, \frac{x}{2}), \qquad g (- \infty,\, \frac{x}{2}) = \{ 0 \} \subset U $$ Si $ x > 0$, $\, g(x) = 1$ y, para todo abierto $V \ni 1$, $$ x \in (\frac{x}{2}, \infty), \qquad g(\frac{x}{2}, \infty) = \{1\} \subset V $$ Por tanto, $g$ es continua en todos los puntos $x \not= 0$. Ahora bien, si $x = 0$, no existe ningún intervalo $( - \delta, \delta)$ que se aplique por $g$ en $\,(- \frac12, \frac12)$. Por lo tanto, $g$ no es continua en $x = 0$.

Puesto que la definición de continuidad coincide con la del Cálculo, las funciones analíticas, trigonométricas, logarítmicas, exponencial, etc. son continuas.