Introducción

En la Introducción de "Topology. Problem Textbook" de O.Ya. Viro, and others, se dice:

Nowadays, the study of general topology resembles a study of a language rather than a study of mathematics: one has to learn many new words, while the proofs of the majority of the theorems are extremely simple.

Estoy totalmente de acuerdo. Aun más, tanto de las demostraciones fáciles como las que no lo son tanto se puede prescindir perfectamente. La situación es similar a la de muchos otro tipo de conocimientos. Por ejemplo: un conductor profesional debe saber algo de la mecánica del coche; el mecánico necesita un conocimiento profundo. Pero un conductor ordinario no necesita saber cómo ni por qué su coche funciona. Un matemático debe preocuparse de las demostraciones; uno que quiere utilizar los resultados solo necesita entenderlos bien. El que solo siente curiosidad puede elegir hasta qué punto quiere profundizar.

Las demostraciones pueden ser difíciles de seguir para el lector no acostumbrado al razonamiento matemático y entorpecer la lectura. Por este motivo no las he incluido en el texto central de este curso. Simplemente, junto con el enunciado de cada resultado hay un enlace a su correspondiente demostración; un color indica su dificultad: fácil, media o difícil. Muchos lectores no necesitarán ocuparse nunca de las demostraciones de resultados que, sin embargo, pueden serles útiles en sus campos. Evidentemente, el entretenerse en intentar alguna demostración es muy útil para captar bien los conceptos y es muy importante para un matemático.

En este curso trataremos de los objetos de los que se ocupa la Topología, los espacios topológicos, de ciertas aplicaciones entre ellos, las funciones continuas, y sus propiedades. También estudiaremos métodos que permiten construir nuevos espacios topológicos a partir de otros ya conocidos. En el último capítulo, el más extenso, se tratan las propiedades más importantes que puede tener un espacio topológico y algunas de las consecuencias que estas propiedades tienen en su comportamiento.

Cada capítulo está dividido en dos partes. En la primera, Lo esencial, se incluye solo lo más necesario e ilustrativo para el lector en el momento en que hace una primera lectura. En la segunda, También importante, se incluye aquello de lo que se puede prescindir en una primera lectura pero, o bien será necesario más adelante, o bien es ilustrativo en una segunda lectura, o bien es útil en las demostraciones. Al avanzar el Curso, y según se van necesitando cuestiones tratadas en estas segundas partes, un enlace remite a la sección correspondiente.

Como el objetivo del curso no es crear especialistas, no se han incluido ejercicios. Aunque, de hecho, las demostraciones son los mejores ejercicios que puede hacer el principiante. Para el estudiante que quiera adquirir una mayor habilidad existen infinidad de excelentes libros de Topología Elemental que incluyen listas de ejercicios.

Un texto clásico excelente para mi gusto, que contiene toda la materia que aquí se ve y mucho más es: Topología 2ª edición, de James R. Munkres. Editado por Pearson Education, S.A. Madrid, 2002. Otro texto mucho más amplio, muy antiguo, pero que me gusta es Topology de James Dugundji. La página personal de Marta Macho contiene además un sin fin de material didáctico y divulgativo muy interesante; y contiene también apuntes de sus cursos de Topología. Otros apuntes muy recomendables son Topología de Jaume Aguadé