Espacios paracompactos

Hemos tratado en este capítulo de unas cuantas propiedades de los espacios topológicos pero, naturalmente, existe otras muchas interesantes y esenciales en determinadas áreas. Una de ellas es la paracompacidad, que generaliza el concepto de compacidad.

Un recubrimiento $\mathcal{V} = \{V_k; \ell \in L \}$ es un refinamiento de un recubrimiento $\mathcal{U} = \{U_j; j \in J\}$ si, para todo $V_\ell \in \mathcal{V}$, existe un $U_j \in \mathcal{U}$ que lo contiene: $V_\ell \subset U_j$.

Se dice que un espacio $X$ es paracompacto si todo recubrimiento abierto de $X$ tiene un refinamiento abierto localmente finito.

Localmente finito, significa que todo punto $x\in X$ tiene un entorno que solo corta a un número finito de abiertos de $\mathcal{V}$. En ocasiones a la definición de paracompacidad se le añade la propiedad de ser Hausdorff.

Ejemplos

Los espacios casi-compactos son paracompactos, puesto que los subrecubrimientos finitos son localmente finitos. De hecho, los espacios paracompactos comparten muchas propiedades con los espacios compactos. Por ejemplo, todo paracompacto Hausdorff es normal.

$\mathbb R^n$ es paracompacto. Aun más, todos los espacios métricos son paracompactos.

Una de las propiedades más interesantes de los espacios paracompactos es que admiten particiones de la unidad.

Una partición de la unidad subordinada a un recubrimiento abierto $\mathcal{U} = \{U_j; j \in J\}$ de $X$ es una familia de funciones continuas $$ \kappa_j: X \longrightarrow [0, 1], \qquad j \in J $$ tal que
1. La adherencia de $V_j = \kappa_j^{-1}(0, 1]$ (llamada soporte de $\kappa_j$) está contenida en $U_j$: $\, \overline{V_j} \subset U_j$.
2. $\{ \overline{V_j}; j \in J \}$ es una familia localmente finita, es decir, cada punto tiene un entorno que solo corta un número finito de los $\overline{V_j}$.
3. Para todo $x \in X$, $\, \sum_{j\in J} \kappa_j(x) = 1\,$.

Proposición. Todo recubrimiento de un espacio paracompacto Hausdorff tiene una partición de la unidad subordinada.

La importancia de las particiones de la unidad es que permiten la construcción de aplicaciones continuas globales a partir de otras definidas localmente. Son una herramienta fundamental en la demostración de problemas de inmersión, como por ejemplo, que una variedad de dimensión finita pueda ser inmersa como subespacio de un $\mathbb R^n$, para un $n$ conveniente. Y también juegan un papel muy importante en problemas de metrización. Enunciamos uno como ejemplo.

Teorema de Smirnov. Un espacio $X$ es metrizable si, y solo si, es paracompacto Hausdorff y todo punto tiene un entorno metrizable.

Todos estos resultados están muy bien explicados en el Munkres.