Homeomorfismos

Un homeomorfismo es una aplicación entre espacios topológicos continua, biyectiva y cuya inversa también es continua. Dos espacios topológicos $\, X, \, Y$ se dice que son homeomorfos si existe un homeomorfismo $f: X \to Y$. Lo indicaremos por
$\hspace{2cm} X \cong Y \qquad$ o por $ \qquad X \, \stackrel{f}{\cong}\, Y$

Los homeomorfismos no solo son una biyección entre los puntos de los dos espacios, sino también induce una biyección entre sus abiertos: la imagen de un abierto es abierto y la antiimagen de un abierto es abierto. Uniones, intersecciones, complementarios, etc de uno y otro espacio se corresponden. Todas las propiedades que se expresen en función de los abiertos y operaciones entre ellos, son compartidas por los dos espacios.

Llamaremos propiedad topológica a aquellas propiedades de un espacio topológico que se preservan por homeomorfismos. Es decir, la propiedad es cierta para todos los espacios homeomorfos $f:\, (X, \tau_X) \cong (Y, \tau_Y)$, al sustituir cada subconjunto y cada abierto por su imagen.

Al principio del curso, dijimos que un topólogo no distingue entre un subespacio de $\mathbb R^3$ y los que se obtienen a partir de él por deformaciones sin roturas ni unión de partes que estuvieran separadas. El motivo es que el espacio deformado es homeomorfo al original: la aplicación que a cada punto le hace corresponder el punto al que ha ido a parar, es una biyección continua, con inversa continua. Los dos espacios tiene exactamente las mismas propiedades topológicas.

Desde el punto de vista práctico, cuando queramos estudiar las propiedades topológicas de un espacio, podemos trabajar con cualquier espacio homeomorfo, que llamaremos un modelo. La elección de un modelo adecuado en cada caso es algo muy importante para facilitar el estudio del espacio.

Ejemplos

1. Una esfera, un elipsoide, un cubo, un plato, un bol (sin asa),... son espacios homeomorfos; tienen, por tanto, exactamente las mismas propiedades topológicas.

Que dos espacios son homeomorfos podemos demostrarlo mostrando un homeomorfismo. Pero para probar que dos espacios no son homeomorfos tenemos que demostrar que es imposible definir un homeomorfismo y esto es bastante más difícil. No basta con decir: - ¡No se me ocurre como se podría definir un homeomorfismo!

Una manera de diferenciar dos espacios es viendo que difieren en alguna propiedad topológica. Más adelante, utilizaremos esta vía para demostrar algunos casos de espacios no homeomorfos.

Para resolver problemas de este tipo viene en auxilio el Álgebra. La Topología Algebraica trata de distintas maneras de relacionar ambas áreas y utilizar estas relaciones para resolver problemas topológicos con ayuda del Álgebra y problemas algebraicos con ayuda de la Topología.

2. Todos los intervalos abiertos de la recta son homeomorfos al intervalo $(0,1)$: las aplicaciones $$ f: (a, b) \longrightarrow (0,1), \qquad f(t) = \frac{t-a}{b-a}, \qquad f^{-1}(x) = a + (b - a) x $$ son homeomorfismos. Podemos establecer homeomorfismos entre dos intervalos abiertos cualesquiera componiendo homeomorfismos en $(0,1)$: $$ h: (a, b) \longrightarrow (c, d), \qquad h(t) = c + \frac{d-c}{b-a}(t-a) $$ Los intervalos abiertos son, a su vez, homeomorfos a toda la recta: $$ \varphi: (-1, +1) \longrightarrow \mathbb R, \qquad \varphi(x) = \frac{x}{1-x^2} $$

3. Para cualquier dimensión $n$, todas las bolas abiertas de $\mathbb R^n$, con cualquier centro y cualquier radio son homeomorfas. Y todas ellas son homeomorfas a todo $\mathbb R^n$. En efecto, sean $\, x=(x_1, \dots, x_n)$, $\, y=(y_1, \dots, y_n)$ y $\,\Vert y \Vert = + \sqrt{y_1^2 + \dots + y_n^2}$. Las funciones $$ B(x, r) \stackrel{f}{\longrightarrow} B(0, r) \stackrel{g}{\longrightarrow} B(0, 1) \stackrel{h}{\longrightarrow} \mathbb R^n, \qquad f(y) = y - x, \qquad g(y) = \frac{1}{r}\, y, \qquad h(y) = \frac{1}{1 - \Vert y \Vert^2}\, y $$ son homeomorfismos.

4. Consideremos la esfera $\, S^n = \{ x \in \mathbb R^{n+1} \mid d(0, x) = 1 \}$ y sea $P:= (0, \dots, 0, 1)$ su polo norte. Dado $x \in S^n \setminus \{P\}$, definimos $f(x)$ como el punto intersección de la semirrecta de origen $P$ que pasa por $x$ y el hiperplano de puntos con ultima coordenada $0$. Omitiendo la última coordenada $0$ podemos identificar este hiperplano con $\mathbb R^n$. Obtenemos $$ f(x_1, \dots, x_{n+1}) = \frac{1}{1-x_{n+1}} \, (x_1, \dots, x_n) $$ La inversa también es continua $$ f^{-1}(y_1, \dots, y_n) = \frac{1}{1 + \Vert y \Vert^2}\,(2y_1, \dots, 2y_n, \Vert y \Vert^2 - 1 ) $$ El homeomorfismo $f$ se llama proyección estereográfica de $S^n \setminus \{P\}$ sobre $\mathbb R^n$.