Construcción de nuevos espacios topológicos

Conocemos varias maneras de construir nuevos conjuntos a partir de otros: subconjuntos, conjuntos producto cartesiano, conjuntos cocientes por una relación de equivalencia, uniones. En este capítulo vamos a ocuparnos de como dotar a estos nuevos conjuntos de topologías cuando los conjuntos de partida son espacios topológicos. Naturalmente, queremos hacerlo de la manera más conveniente posible y, para ello, tendremos que precisar también que entendemos por "lo más conveniente posible" en cada caso.

Subespacios

Los subconjuntos de un espacio métrico son, a su vez, espacios métricos y tienen por lo tanto una topología asociada. Para ver como son sus abiertos empecemos por ver como son sus bolas.

Sea $(X,d)$ y $A \subset X$. La restricción de la distancia $d$ a los puntos de $A$, es una distancia que vamos a llamar $d_A$ (aunque se suele conservar la notación $d$ si no da lugar a confusión). Una bola de $A$ es la intersección de una bola de $X$ con $A$: $$ B_{d_A}(a, r) = \{ b \in A \mid d_A(a,b) < r \} = \{ x \in X \mid d(a,x) < r \} \cap A = B_d(a,r) \cap A $$ Los abiertos asociados a $(A, d_A)$ son uniones de bolas y, por tanto, son intersecciones de uniones de bolas de $(X, d)$ con $A$, es decir, son intersecciones de abiertos de $(X, d)$ con $A$.

Ejemplos

En estos ejemplos del plano y de la recta, observamos algo que hay que tener siempre muy presente: los abiertos del subespacio pueden no ser abiertos del espacio total. Así, en el segundo ejemplo, $(1/2,\, 1]$ es un abierto de $A = [0,1]$, pero no es un abierto de la recta.

Las intersecciones de los abiertos de un espacio topológico arbitrario $(X, \tau)$ con un subconjunto $A \subset X$ definen siempre una topología en $A$. Así pues, parece natural tomar en $A$ esta topología.

Sea $(X, \tau)$ un espacio topológico. Se dice que un subconjunto $A \subset X$ es subespacio topológico de $X$ si se toman como abiertos de $A$ las intersecciones de abiertos de $X$ con $A$.

El enunciado que sigue nos dice que la topología del subespacio cumple con las propiedades que parece conveniente que cumpla.

Proposición. 1. La inclusión $\iota_A: (A, \tau_A) \hookrightarrow (X, \tau)$ es continua.

2. La restricción de una aplicación $(X, \tau) \to (Y, \rho)$ a un subespacio $ A \subset X$, $\, (A, \tau_A) \to (Y, \rho)$, es continua.

3. Si la imagen de $f : (X, \tau) \to (Y, \rho)$ está contenida en $B \subset Y$, $f$ es composición de la aplicación $g: X \to B$ tal que $g(x)=f(x)$ para todo $x \in X$, con la inclusión $\iota_B: B \hookrightarrow Y$. Entonces, $g$ es continua si, y solo si, $f$ es continua.

Demostración.

Muchas veces se designa a $g$ también por $f$, aunque realmente no se trate de la misma aplicación. Esta clase de imprecisiones o abusos de lenguaje son muy frecuentes con el objetivo de simplificar notaciones. Cuando el contexto no induce a confusión no hay ningún inconveniente. Sin embargo, en general, conviene usar una notación inequívoca, y eso complica el lenguaje. Los matemáticos tienden a utilizar un lenguaje preciso, aunque resulte algo complicado. Creo que este es el motivo de que, a las personas no habituadas, le sea tan difícil entender un escrito matemático.