Espacios métricos

Una de las clases espacios topológicos más importantes son los espacios métricos, espacios en los que hay definida una distancia. Nuestros ejemplos por antonomasia eran espacios métricos.

Una distancia o métrica en un conjunto $X$ es una aplicación

$ \hspace{2cm} d : X \times X \longrightarrow \mathbb R $
que cumple:

1. Para cualquier par de puntos $x, y \in X$, $\, d(x, y) = d(y,x) \geq 0$.

2. $ d(x,y) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x = y$.

3. Desigualdad triangular: Para todas las ternas $x,y,z \in X$, se cumple $$\, d(x,y) + d(y,z) \geq d(x,z)$$

Un espacio métrico es un conjunto $X$ provisto de una distancia $d$.

Antes de dar ejemplos vamos a definir las bolas. Conocer como son es esencial para comprender las características de una distancia.

Sea $(X,d)$ un espacio métrico. Se llama bola abierta, o simplemente bola a un conjunto del tipo $$ B(x,r) = \{ y \in X \mid d(x,y) < r \}, \qquad x \in X, \quad r \in \mathbb R $$ A $x$ y $r$, es les llama centro y radio de $B(x,r)$ respectivamente.

Ejemplo 1

En el conjunto $\mathbb R^n$ se pueden definir varias distancias entre dos puntos $x=(x_1, \dots, x_n)$, $y =(y_1, \dots, y_n)$: $$ d_2(x,y) = \sqrt{ \sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}, \qquad d_\infty (x,y)=\max_{1\leqslant i \leqslant n} |x_i-y_i |, \qquad d_1(x,y)=\sum_{i=1}^n |x_i-y_i| $$

Observar que las tres figures corresponden a bolas con el mismo radio.

Ejemplo 2

En el conjunto de las funciones reales contínuas $\,f: [a,b] = \{ x\in \mathbb R \mid a \leq x \leq b \} \to \mathbb R$, se pueden definir las distancias $$ d_\infty(f, g) = \sup \{ |f(x) - g(x)|\, ; \, x \in [a,b] \}, \qquad d(f, g) = \int_a^b |f(x) - g(x) | dx $$ Consideremos, por ejemplo, las funciones coseno y seno, definidas en el intervalo $[0, 2\pi]$. Entonces $d_\infty(\cos, \sin)\,$ es la longitud del segmento en verde de la figura que sigue y $\,d(\cos, \sin)\,$ es el área sombreada entre las dos curvas:

Ejemplo 3

En cualquier conjunto $X$ se puede definir la distancia $$ d(x,y) = 1 \quad \mbox{ si } x\not= y, \qquad d(x,x)=0 \quad \mbox{ para todo } x. $$ que se llama distancia discreta. En este caso las únicas bolas son $$ B(x,r) = \{x\} \quad \mbox{ si } 0 < r \leq 1 , \qquad B(x,r)=X \quad \mbox{ si } r > 1 $$

En principio, un espacio métrico no es un espacio topológico. Estos tienen una estructura dada por un conjunto de subconjuntos (que llamamos abiertos) no por una distancia. La manera de asociar a un espacio métrico uno topológico es la misma que empleamos con $\mathbb R^n$.

Llamaremos abierto de un espacio métrico $(X,d)$ a todo subconjunto de $X$ que sea unión de bolas. Estos conjuntos forman una topología que designaremos por $\tau_d$. Naturalmente, para ello necesitamos incluir el conjunto vacío $\emptyset$ que podemos considerar como la unión de ninguna bola.

Las uniones de bolas forman efectivamente una topología. Demostración.

Ejemplos

Los subconjuntos que se obtienen como unión de bolas de $\mathbb R^n$ con la distancia usual $d_2$ son también unión de cuadraditos o rombos, es decir, de bolas respecto las distancias $d_\infty$ o $d_1$ de $\mathbb R^n$. Así pues, una misma topología puede estar asociada a diferentes distancias. Se dice que dos distancias son topológicamente equivalentes si dan lugar a la misma topología. Podéis mirar en este enlace criterios para comprobar si dos distancias son equivalentes.

Si la distancia definida en $X$ es la distancia discreta del ejemplo 3, entonces cualquier subconjunto es unión de sus puntos, y estos son bolas. La topología de $X$ está formada por todos los subconjuntos, $\mathcal P(X)$, y se llama topología discreta.

Podemos considerar la topología discreta como un caso extremo en el que todos los subconjuntos de $X$ son abiertos. Otro caso extremo sería considerar el mínimo número de abiertos posible. Este mínimo es $\tau_b = \{ \emptyset, X\}$. A esta topología se le llama topología burda o indiscreta. Si $X$ tiene más de un punto, la topología burda no proviene de ninguna distancia, porque si $x \not= y$ la bola abierta $B(x,\frac{1}{d(x,y)})$ contiene a $x$ pero no a $y$, es decir, es un abierto distinto de $\emptyset$ y de $X$.

Observemos también que la topología asociada a una distancia $d$ en un conjunto $X$ coincide con la topología asociada a la distancia $$ d'(x, y) = \min{(d(x,y),\, 1)} $$ (En vez del $1$ podemos tomar cualquier constante $k$.) Es decir, en un espacio métrico la topología solo depende de las bolas de radios pequeños.