La definición formal

En la sección anterior hemos dicho que los ejemplos por excelencia de espacios topológicos son subconjuntos de $\mathbb R^n$, con la topología inducida por la distancia.

Ahora vamos a definir un espacio topológico como un conjunto, junto con una familia de subconjuntos que llamaremos abiertos.

Pero no nos interesa cualquier familia, le vamos a exigir tres condiciones que, naturalmente, cumplen los abiertos de $\mathbb R^n$.

Sea $X$ un conjunto cualquiera y $\mathcal{P}(X)$ la familia de subconjuntos de $X$.

Se dice que una subfamilia $\tau \subset \mathcal{P}(X)$ es una topología en $X$ si cumple:

1. El subconjunto vacío y el subconjunto total están en $\tau$: $\quad \emptyset, X \in \tau$.

2. La intersección de dos conjuntos de $\tau$ también está en $\tau$: $\quad U, V \in \tau \quad \Rightarrow \quad U \cap V \in \tau$.

3. Todas las uniones de conjuntos de $\tau$ están en $\tau$: $\quad U_j\in \tau, \quad j\in J \quad \Rightarrow\quad \bigcup_{j\in J} U_j \in \tau$.

La segunda condición equivale a que la intersección de cualquier familia finita de conjuntos de $\tau$ esté en $\tau$.

Un espacio topológico $(X,\tau)$ es un conjunto $X$ junto con una topología $\tau$. Los elementos de $\tau$ se llaman abiertos del espacio topológico $(X, \tau)$.

Un subconjunto $N$ es un entorno de $x \in X$ si existe un abierto $U$ tal que $\ x \in U \subset N$.

Si no hay peligro de confusión con otra topología designaremos un espacio topológico $(X, \tau)$ simplemente por $X$.

Ejemplos muy importantes de espacios topológicos son los espacios métricos. Entre estos están los subconjuntos de $\mathbb R^n$, los ejemplos de la sección anterior, pero hay muchos más espacios métricos con características muy diferentes. De ellos vamos a tratar en la sección siguiente. En esta sección damos otros ejemplos simples que permiten hacernos una idea de la gran variedad de espacios topológicos que engloba la definición dada. Pero antes, una definición más.

Un cerrado de un espacio topológico es un subconjunto cuyo complementario es abierto.

Naturalmente, una topología en un conjunto $X$ puede darse por sus cerrados.

Proposición. Una familia de subconjuntos de un conjunto $X$, $\, \mathcal{F} \subset \mathcal{P}(X)$, es la familia de cerrados de una topología de $X$ si, y solo si, cumple:

1. $\emptyset, X \in \mathcal{F}$.

2. La unión de dos conjuntos de $\mathcal{F}$ también está en $\mathcal{F}$: $\quad C, D \in \mathcal{F} \quad \Rightarrow \quad C \cup D \in \mathcal{F}$.

3. Todas las intersecciones de conjuntos de $\mathcal{F}$ están en $\mathcal{F}$: $$ C_j\in \mathcal{F}, \quad j\in J \quad \quad\Rightarrow \quad \bigcup_{j\in J} C_j \in \mathcal{F} $$

Demostración.

Vamos a dar ahora una serie de ejemplos sencillos. En los últimos apartados de este capítulo introducimos otros ejemplo.

Ejemplos

La topología discreta en un conjunto $X$ es aquella que tiene como abiertos todos los subconjuntos de $X$: $\, \tau = \mathcal P(X)$. Todos los subconjuntos son también cerrados. Cualquier punto es entorno de si mismo.

La topología burda (o indiscreta) en un conjunto $X$ es aquella que solo tiene como abiertos a $\, \{ \emptyset, X\}$. Estos dos subconjuntos son también los únicos cerrados. El único entorno de cualquier punto $x$ es todo el espacio.

La topología de los complementarios finitos en un conjunto $X$ es aquella que tiene como abiertos los complementarios de los subconjuntos finitos de $X$: $$ \{\emptyset\} \cup \{ U \subset X \mid X \setminus U \quad \text{ finito} \,\} $$ Los cerrados de esta topología son los subconjuntos finitos.

La topología de los complementarios numerables en un conjunto $X$ es aquella que tiene como abiertos los complementarios de los subconjuntos numerables de $X$: $$ \{\emptyset\} \cup \{ U \subset X \mid X \setminus U \quad \text{ numerable} \,\} $$ Los cerrados de esta topología son los subconjuntos numerables.

Sea $X$ un conjunto en la que se ha fijado un punto $x_0$. Las siguientes familias son topologías de $X$ $$ \{\emptyset\} \cup \{ U \subset X \mid x_0 \in U \,\}, \qquad \quad \{ U \subset X \mid x_0 \not\in U \,\} \cup \{X\} $$ y se llaman topología del punto incluido y topología del punto excluido respectivamente. Observar que los abiertos de cada una de ellas son los cerrados de la otra.

Para el próximo ejemplo necesitamos recordar el concepto de orden total.

Una relación de orden total en un conjunto $X$ es una relación $\leq$ que cumple:
1. Propiedad reflexiva: para todo $x$, $\; x \leq x$.
2. Propiedad transitiva: $x \leq y, \quad y \leq x \quad\Rightarrow\quad x \leq z.$
3. Propiedad antisimétrica: $x \leq y, \quad y \leq x \quad\Rightarrow\quad x = y.$

La topología del orden de $(X, \leq)$ es la formada por todas las uniones de conjuntos del los tipos: $$ (\leftarrow, a) = \{ x \in X \mid x < a \}, \qquad (a, b) = \{ x \in X \mid a < x < y \}, \qquad (a, \rightarrow) = \{ x \in X \mid a < x \} $$ donde $a, b \in X$ y donde $\, x < y \,$ indica que $x \leq y$, pero $x \not= y$.