Otros ejemplos interesantes

Estamos dedicando especial interés a los espacios topológicos subespacios de $\mathbb R^n$ porque son los espacios más fáciles de visualizar. Pero la Topología también es fundamental en muchas otras áreas en las que son importantes las cuestiones sobre continuidad y convergencia.

En esta sección vamos a ver topologías en $\mathbb R$ que dan lugar a la convergencia por la derecha y por la izquierda. También nos vamos a referir al problema de metrización (de productos en particular) y daremos algunos ejemplos de espacios topológicos relacionados con otras áreas: el espacio de Hilbert $\ell^2$ y el cubo de Hilbert $I^\omega$, de especial importancia en Análisis Funcional y Física Cuántica; la topología de Zariski, de gran importancia en Geometría Algebraica; y la topología p-ádica en los enteros $\mathbb Z$, de la Teoría de Números.

Topologías de la convergencia por la izquierda y por la derecha

Recordemos que la topología usual de $\mathbb R$ tiene como subbase a todas las semirrectas en uno y otro sentido: $\{ (a, +\infty),\,\, (-\infty, b) \mid a, b \in \mathbb R \}$; ya que sus intersecciones dan lugar a intervalos y las uniones de estos a los abiertos (ver aquí.) Pues bien, tomemos ahora solo un tipo de semirrectas: $$ \mathcal S_1 = \{ (a, +\infty) \mid a \in \mathbb R \}, \qquad \mathcal S_2 = \{ (-\infty, b) \mid b \in \mathbb R \} $$ De hecho, cada uno de estos conjuntos es una base, puesto que la intersección de dos semirrectas de un tipo es una semirrecta del mismo tipo. Es más, si añadimos el espacio total, ambas son una topología: $\,\tau_i = \mathcal S_i \cup \{\emptyset, \mathbb R \}$, $\, i=1,2$.

Supongamos que $(x_n)_{n \in \mathbb N}$, es una sucesión que converge a $x$, en el espacio topológico $(\mathbb R,\, \tau_1)$. Eso quiere decir que, para todo real $\varepsilon > 0$ los términos de $(x_n)$ deben estar en el entorno $(x - \varepsilon,\, +\infty)\,$ a partir de un cierto índice. En particular, puede haber infinidad de términos $x_m$ tan grandes como se quiera, pero los términos que sean inferiores a $x$ deben distar de $x$ menos de $\varepsilon$. Una sucesión que converge a $x$ según esta topología se dice que converge por la izquierda y se indica por $$ x = \underset{\to}{\lim} x_n $$

Análogamente, si $(x_n)_{n \in \mathbb N}$ es una sucesión que converge a $x$, en el espacio topológico $(\mathbb R,\, \tau_2)$, podemos encontrar infinidad de términos tan pequeños como queramos, pero los términos mayores que $x$ deben distar de $x$ menos que el $\varepsilon$ prefijado. Se dice entonces que converge por la derecha y se indica por $$ x = \underset{\leftarrow}{\lim} x_n $$

Metrización

Uno de los problemas que interesan en Topología es saber cuando un cierto espacio topológico es metrizable, es decir, su topología está asociada a alguna métrica. Más adelante mencionaremos el Teorema de Smirnov.

Veamos aquí como podemos dotar al producto de una familia numerable de espacios métricos $\{(X_j, d_j); j \in \mathbb N\}$ de una distancia compatible con la de sus factores. Vamos a suponer que existe una cota máxima de las distancias entre los puntos de cada espacio: $d_j(x_j, y_j) < M$, para todo $j \in \mathbb N$ y todo par de puntos $\, x_j, y_j \in X_j$. En caso contrario, fijamos un $N < M$ y consideramos distancias $\, \bar d_j(x_j, y_j) = \min \{ d_j(x_j, y_j), N\}$.

Definimos la distancia entre dos puntos $x=(x_j)$, $\,y=(y_j)$ de $\, \prod_{j\in \mathbb N} X_j$ por $$ d(x,y)\, = \, \sup{\{d_j(x_j, y_j) ; j \in \mathbb N \}} $$ y se comprueba que es, en efecto, una distancia que se llama distancía uniforme; la topología asociada se llama topología uniforme.

Si $X_j = \mathbb R$, para todo $j \in \mathbb N$, se suele utilizar la notación $\mathbb R^\omega$. La métrica usual $d_2$ de $\mathbb R$ no está acotada pero define la misma topología que la distancia $$ d(a, b) = \max{ \{d_2(a,b), 1 \}}, \qquad a, b \in \mathbb R $$ Tomando esta distancia podemos definir la topología uniforme en $\mathbb R^\omega$. Más adelante definiremos una topología producto en el producto de espacios topológicos, no necesariamente métricos. La topología uniforme que acabamos de definir en $\mathbb R^\omega$ no da lugar a la topología producto. Sin embargo esto se consigue tomando en $\mathbb R$ la topología asociada a la distancia $$ D(x, y) = \sup{\{\frac{d(x_j, y_j)}{j}\}} $$

El espacio $\,\ell^2$

El espacio de Hilbert (clásico) se define como el conjunto $\quad \ell^2 := \{ (x_n)_{n \in \mathbb N}\in \mathbb R^\omega \mid \sum_{n=0}^{\infty} |x_n |^2 \quad \text{ es convergente } \},\quad$ con la distancia $$ d\left( (x_n),\, (y_n) \right) \, = \, \sum_{n=0}^\infty |x_n - y_n |^2 $$

Son espacios de especial relevancia en Análisis Funcional y Física Cuántica y Teórica. El subespacio $$ I^\omega := \{ (x_n)_{n \in \mathbb N}, \; x_n \in [0, \frac{1}{n}] \mid \sum_{n=0}^{\infty} |x_n |^2 \quad \text{ es convergente } \} $$ se llama cubo de Hilbert y su topología coincide, en este caso, con la topología producto (que veremos más adelante).

Topología de Zariski

Sea $p = p(X_1,\dots, X_n)$ un polinomio de $n$ variables sobre $K$, donde $K = \mathbb R$ o $\mathbb C$ (los reales o los complejos). El conjunto de puntos $(x_1, \dots, x_n) \in K$ sobre los que el polinomio se anula es un cerrado (ver aquí).

Sea $S \subset K[X_1, \dots, X_n]$ un conjunto de polinomios. Se llama variedad algebraica determinada por $S$ al conjunto $$ V(S) = \{ (x_1, \dots, x_n) \in K^n \mid p(x_1, \dots, x_n) = 0, \quad\text{para todo } \,\, p \in S \} $$ La familia $$ \mathcal Z = \{ V(S) \mid S \subset K[X_1, \dots, X_n] \} $$ es una topología llamada la topología de Zariski de $K^n$.

Esta topología es de suma importancia en Geometría Algebraica. Esta rama de las Matemáticas estudia las variedades algebraicas, $V(S)$, que son objetos geométricos, a través de las propiedades del conjunto (anillo) $I\left( V(S)\right)$, de los todos los polinomios que se anulan sobre los puntos de la variedad (que naturalmente incluye $S$, pero también todas sus sumas y productos por otros polinomios).

Topología p-ádica

Fijado un número primo $p$, se llama distancia $p$-ádica de $\mathbb Z$, a la distancia $$ d_p(x,y) = \left\{ \begin{array}{lcl} 0 & \mbox{ si } & x=y \\ \frac{1}{p^n} & \text{ si } & x\not= y \end{array} \right. $$ donde $n$ es el exponente de $p$ en la descomposición en factores primos de $(x-y)$. Es decir, $$ x - y = p^n q, \qquad q \mbox{ no divisible por } p $$ Si escribimos $x, y$ en base $p$ $$ x = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \dots + a_n p^n + \dots , \quad y = b_0 + b_1 p + b_2 p^2 + \dots + b_n p^n + \dots , \qquad a_j, b_j < p \,\, \mbox{ para todo } \, j $$ $d(x,y) = \frac{1}{p^{n}}$ equivale a que $a_0=b_0 \dots, a_{n-1}=b_{n-1}$, $a_n \not= b_n$.

Esta distancia tiene una propiedad curiosa: dados tres enteros cualesquiera $x,y,z \in \mathbb Z$ se tiene $$ d_p (x,z) \leq \max {\{d_p(x,y), d_p(y,z)\}} $$ que es una condición más fuerte que la desigualdad triangular. Los espacios que cumplen esta propiedad se llamam espacios ultramétricos y cumplen una propiedad sorprendente: cualquier punto de una bola es centro de la misma: $$ y\in B(x,r) \quad \Rightarrow \quad B(y,r)=B(x,r) $$ Demostración.