Espacios compactos

No es fácil dar una idea intuitiva de qué es un espacio compacto. Quizás simplemente decir que son espacios muy "manejables", no excesivamente complicados, con buenas propiedades. Una de ellas es, por ejemplo, que todas las biyecciones continuas entre ellos son, automáticamente, homeomorfismos. Hemos utilizado ya esta propiedad al identificar espacios cocientes con subespacios de un $\mathbb R^n$. Al citar entonces el resultado nos referíamos a subespacios de $\mathbb R^n$ cerrados y acotados, y a sus imágenes. Los subespacios compactos de $\mathbb R^n$ son precisamente los cerrados y acotados.

La propiedad de compacidad es una de las llamadas propiedades de "finitud", propiedades que nos dice que el espacio no es "excesivamente grande". También son propiedades de finitud los Axiomas de Numerabilidad que aseguran la existencia de alguna base del espacio (o base de entornos de cada uno de los puntos) numerable. En el caso de la compacidad, la finitud está relacionada con los recubrimientos abiertos.

Se llama recubrimiento de un espacio $X$ a una familia de subconjuntos $\{A_j \mid j\in J\}$ cuya unión es todo el espacio, $X = \bigcup_j A_j$. Si todos los $A_j$ son abiertos, se dice que se trata de un recubrimiento abierto. Si todos los $A_j$ son cerrados se dice que se trata de un recubrimiento cerrado. Un subrecubrimiento de un recubrimiento $\mathcal{A} = \{ A_j \mid j\in J \}$ es un recubrimiento formado por conjuntos de $\mathcal{A}$.

Un espacio se llama casi-compacto si todo recubrimiento abierto tiene un subrecubrimiento finito.

Un espacio se llama compacto si es casi-compacto y Hausdorff.

Ejemplos

Si $A \subset \mathbb R^n$ no es acotado, no es compacto. En efecto, en este caso, el recubrimiento $A\cap B(0, n)$ no tiene ningún subrecubrimiento finito. En particular, $\mathbb R^n$ no es compacto.

Los intervalos abiertos $(a,b) \subset \mathbb R$ no son compactos, puesto que son homeomorfos a $\mathbb R$, que no lo es (ver aquí).

Proposición. Los intervalos cerrados $[a,b] \subset \mathbb R$ son compactos.

Demostración

Más ejemplos

El subespacio $X= \{ \frac{1}{n} \mid n\in \mathbb{N} \}$ de $\mathbb R$ no es compacto, ya que $f: X \to \mathbb N$, definida por $f(\frac{1}{n})=n$ es un homeomorfismo en un subespacio de $\mathbb R$ no acotado y, por tanto, no compacto.

Sin embargo, si añadimos el origen, $Y = \{ \frac{1}{n} \mid n\in \mathbb{N} \} \cup \{0\}$ sí es compacto.

Demostración

Veamos como se comporta la compacidad al tomar subespacios, imágenes por aplicaciones continuas o hacer productos.

Proposición.
1. Un subespacio cerrado de un (casi-)compacto es (casi-)compacto. Para subespacios no cerrados el resultado no es cierto.
Demostración

2. La imagen por una aplicación continua de un espacio $X$ casi-compacto es un casi-compacto.
Demostración

3. El producto de espacios compactos es compacto.
Demostración (para un producto finito).

La imagen de un espacio compacto es siempre un casi-compacto, pero puede no ser Hausdorff y, por tanto, puede no ser un compacto.

Propiedades

Proposición. Todo subespacio compacto de un espacio Hausdorff es cerrado.

Demostración

Teorema de Heine-Borel. Un subespacio $K$ de $\mathbb R^n$ es compacto si, y solo si, es cerrado y acotado.

Demostración

Proposición. Toda aplicación continua entre espacio compacto y un espacio Hausdorff es cerrada, es decir, transforma cerrados en cerrados.
En particular, toda biyección entre espacios compactos es un homeomorfismo.

Demostración

Proposición. Todo espacio compacto es normal.

Demostración

Espacios métricos compactos

En los espacios métricos la propiedad de compacidad se puede caracterizar en términos de sucesiones. Concretamente, se cumple el siguiente resultado.

Proposición. Un espacio métrico es compacto si, y solo si, toda sucesión tiene una parcial convergente.

Demostración.

La demostración de esta caracterización se basa en la existencia de un número de Lebesgue para cada recubrimiento abierto.

Proposición. Sea $(X, d)$ un espacio métrico que cumple que toda sucesión tiene una parcial convergente. Entonces, dado un recubrimiento abierto del espacio $\,\mathcal U = \{ U_j \mid j \in J\}$, existe un real $\delta$ tal que cualquier bola de radio $\delta$ está contenida en alguno de los abiertos $U_j$. $\,\delta$ se dice que es un número de Lebesgue del recubrimiento $\mathcal U$.

Demostración.