Continuidad a trozos

A menudo una aplicación $f: X \to Y$ está definida a trozos, es decir, en vez de una definición global, solo tenemos definiciones en ciertos subconjuntos $A_j \subset X$, $\, j \in J$, que recubren $X$:

$ \hspace{2cm} f_j: A_j \longrightarrow Y, \qquad j \in J$

de forma que, si $x \in A_j$, $\, f(x) = f_j(x)$. Naturalmente, $f$ solo estará bien definida si $$ f_i(x) = f_j(x)\qquad \text{ siempre que } \quad x \in A_i \cap A_j $$ Si todas las $f_j$ son continuas, ¿en qué condiciones podemos asegurar que $f$ también lo es? No siempre, como podemos comprobar con ejemplos muy simples.

Ejemplo

También son continuas las restricciones a los intervalos $(-\infty,0]$ y $[\frac{1}{n},\infty]$, para todo entero positivo $n$.

Lo que sí parece natural es que, si son continuas las restricciones de una aplicación $f: \mathbb R \to \mathbb R$ a dos intervalos abiertos, $f$ también lo sea. Al fin al cabo, la condición de continuidad es local: se trata de que lo sea en cada punto $x$, y $x$ tiene un entorno contenido en cualquiera de los subconjuntos que lo contienen. El problema, en el primer ejemplo, es que uno de los intervalos es abierto pero el otro no, lo que impide poder demostrar que $f$ sea continua en $x = 0$.

Sin embargo, si tenemos solo dos intervalos cerrados $(-\infty, 0]$ y $[0, +\infty)$, las restricciones deben coincidir en $x=0$ y parece más probable que $f$ pueda ser continua. Vamos a demostrar todas estas afirmaciones en un contexto más general.

Para enunciar estos resultados es cómoda la siguiente nomenclatura.

Si $X = \bigcup_j A_j$, $\, j \in J$, se dice que la familia $\{A_j \mid j\in J\}$ es un recubrimiento de $X$. Si todos los $A_j$ son abiertos, diremos que se trata de un recubrimiento abierto; si todos los $A_j$ son cerrados (es decir, sus complementarios son abiertos), diremos que se trata de un recubrimiento cerrado.

Si la familia $\{A_j \mid j\in J\}$ es finita, es decir si $J$ es un finito, se dice que se trata de un recubrimiento finito. Si todo $x\in X$ tiene un entorno abierto que corta solo a un número finito de subconjuntos $A_j$, se dice que se trata de un recubrimiento localmente finito.

Está claro que si un recubrimiento es finito también es localmente finito.

En los ejemplos que hemos puesto, los espacios eran métricos, los subespacios también y las topologías eran las inducidas por estas métricas. Ahora bien, en general, si $(X, \tau)$ es un espacio topológico arbitrario, y $A \subset X$, es preciso que precisemos que topología tomamos en $A$ para que poder hablar de aplicación continua sobre este subconjunto

Si $A$ es un subconjunto de un espacio topológico $(X, \tau)$ tomaremos en $A$ la topología cuyos abiertos son las intersecciones de abiertos de $X$ con $A$ $$ \tau_A = \{ U \cap A \mid X \in \tau \} $$

En el caso en que $X$ sea un espacio métrico, $\tau_A$ es precisamente la topología que induce en $A$ la distancia.

Los abiertos de un abierto $A \subset X$ son de la forma $U \cap A$, con $U$ abierto de $X$, y por tanto son abiertos también en $X$. Lo mismo pasa con sus sus complementarios: los cerrados de un cerrado $C \subset X$ son cerrados también en $X$.

Ahora bien, $[0, 1)$ es un abierto del subespacio $A=[0, 2] \subset \mathbb R$, ya que $[0, 1) = (-1, 1) \cap A$, y no es abierto en $\mathbb R$.

Volveremos a referirnos a esta topología más adelante (aquí). Podemos ahora ya enunciar los siguientes resultados.

Proposición. Sea $f: X \to Y$ una aplicación entre dos espacios topológicos y sea $\{U_j\}_{j \in J}$ un recubrimiento abierto de $X$. Designemos por $f_j: U_j \to Y$ la restricción de $f$ a $U_j$. Si todas las $f_j$ son continuas, entonces $f$ también es continua.

Demostración.

Proposición. Sea $f:X \to Y$ una aplicación entre dos espacios topológicos y sea $\{C_j\}_{j\in J}$ un recubrimiento cerrado localmente finito de $X$. Designemos por $f_j: C_j \to Y$ la restricción de $f$ a $C_j$. Si todas las $f_j$ son continuas, entonces $f$ también lo es.

Demostración.