Conocimientos previos

Para seguir este curso conviene que el lector esté ya familiarizado con una serie de conceptos y resultados elementales. Y también con la notación matemática más habitual.

Ante todo, los conjuntos de números naturales, enteros, racionales y reales que designaremos por $\,\mathbb N$, $\, \mathbb Z$, $\, \mathbb Q$, y $\,\mathbb R$, respectivamente; sus operaciones, su orden y sus propiedades. En $\mathbb N$ no incluimos el $0$.

El símbolo sumatorio $\,\sum\,$ indica una suma que tiene por sumandos la expresión que sigue al sumatorio al variar sus índices. Los rangos en que varian estos índices se indica en el símbolo $\sum \,$ salvo que sean muy evidentes por el contexto. Análogamente para el producto $\,\prod$. Por ejemplo, $$ \sum_{i=1}^{5} 2^i = 2+2^2+2^3+2^4+2^5,\qquad \prod_{i=1}^{5} 2^i = 2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot 2^4\cdot 2^5. $$

Teoría de Conjuntos

También se necesita estar familiarizado con algunos conceptos y notaciones de Teoría de Conjuntos:

$x \in X$	$x$ es un elemento del conjunto $X$	$A \subset X$	$A$ es un subconjunto de $X$
$X \setminus A$	complementario de $A$ en $X$	$\emptyset$	conjunto vacío
$\cup$	unión	$\cap$	intersección
$X \times Y$	producto cartesiano

y sus propiedades.

Indicaremos una familia de conjuntos con una notación del estilo: $\, \mathcal A = \{ A_j \mid j \in J\}\, $. $J$ es un conjunto, el conjunto de índices de la familia $\mathcal A$. Esta familia consta de un conjunto $A_j$ para cada índice $j \in J$. La unión, intersección y producto cartesiano de los conjuntos de la familia se indica por $$ \bigcup_{j\in J} A_j \qquad \qquad \bigcap_{j\in J} A_j \qquad \qquad \prod_{j \in J} A_j $$ Utilizaremos a menudo las igualdades $$ X \setminus \bigcup_{j\in J} A_j = \bigcap_{j\in J} (X \setminus A_j) \qquad x \setminus \bigcap_{j\in J} A_j = \bigcup_{j\in J} (X \setminus A_j) $$ Es ocasiones son varios los índices y hay que ir tomando de todas las posibilidades para los distintos sumandos. Por ejemplo, en la expresión $\quad \prod_{j,i} A_j \times B_i$.

Utilizaremos continuamente los conceptos de aplicación y función con idéntico significado. La aplicación $\,f: X \to Y\, $ asigna, o aplica, a cada elemento de $x \in X$ un elemento de $Y$ que se llama imagen de $x$ y se designa por $f(x)$. Los elemetos $y \in Y$ que se aplican en $x\in X$ se llaman antiimágenes. Pondremos $$ f^{-1}(y) = \{ x \in X \mid f(x) = y \}\qquad f(A) = \{ f(x) \in Y \mid x \in A \} \qquad f^{-1}(B) = \{ x \in X \mid f(x) \in B \} $$ También suponemos conocidos los conceptos de aplicación inyectiva, si elementos distintos van a imágenes distintas, aplicación exhaustiva, si $f(X) = Y$, y aplicación biyectiva si es inyectiva y exhaustiva. En el caso en que $f$ es biyectiva, $f^{-1}$ es también una función, llamada función inversa. Atención: si $f$ no es biyectiva, $f^{-1}$ no es una función.

Una sucesión de elementos de un conjunto $X$ es lo mismo que asignar un elemento $a_n \in X$ a cada número natural $n \in \mathbb N$. Es decir, una sucesión es una aplicación $\,\mathbb N \to X$.

Geometría

También conviene conocer la representación geométrica de $\mathbb R$, $\mathbb R^2$ y $\mathbb R^3$ como los puntos de una recta, un plano y el espacio ordinario. Así como la distancia ordinaria entre dos puntos $x=(x_1, \dots, x_n), \, y=(y_1, \dots, y_n) \in \mathbb R^n$: $$ d(x, y) = + \sqrt{ (x_1 - y_1)^2 + \dots + (x_n - y_n)^2} $$ Para los intervalos de la recta y la semirrectas usaremos las notaciones $$ \begin{array}{lclcl} (a, b)= \{ x \in \mathbb R \mid a < x < b \} & \quad & [a, b]= \{ x \in \mathbb R \mid a \leq x \leq b \} & \quad & [a, b)= \{ x \in \mathbb R \mid a \leq x < b \} \\ (a, b]= \{ x \in \mathbb R \mid a < x \leq b \} & & (a, +\infty)= \{ x \in \mathbb R \mid a < x \} & & [a, +\infty)= \{ x \in \mathbb R \mid a \leq x \} \\ (-\infty, a)= \{ x \in \mathbb R \mid x < a \} & & (-\infty, a]= \{ x \in \mathbb R \mid x \leq a \} & & (-\infty, +\infty) = \mathbb R \end{array} $$

Cálculo

$\mathbb R^n$ es el ejemplo por antonomasia de espacio topológico. Así pues, suponemos que se conocen sus propiedades, convergencia de sucesiones, existencia de supremos (y ínfimos) de conjuntos acotados, etc. Aquí se generalizará la noción de continuidad de una función, pero conviene conocer ya la continuidad de las funciones reales de una y de varias variable. En algunos ejemplos usamos las funciones trigonométricas.

Conjuntos numerables

Un conjunto $X$ es numerable si existe una aplicación biyectiva entre él y cualquier subconjunto de $\mathbb N$. Un conjunto $X$ es finito si existe una aplicación biyectiva entre él y un subconjunto $ \{1,\dots, n\} \subset \mathbb N$. Los conjuntos numerables incluyen los finitos. Todos los subconjuntos de $\mathbb N$ son o finitos o existe una biyección con $\mathbb N$.

Los subconjuntos de conjuntos numerables son numerables. Los productos de un número finito de conjuntos numerables son numerables. Tanto $\mathbb Z$ como $\mathbb Q$ son numerables. $\mathbb R$ no lo es.

$\mathbb Z$ es numerable. Se trata de un caso particular de unión de dos conjuntos numerables, los positivos y los negativos con el $0$. Si $A$ y $B$ son numerables y $f: A \to \mathbb N$, $g:B \to \mathbb N$, son biyecciones, se puede definir una aplicación biyectiva de la siguiente forma $$ h: A \cup B \longrightarrow \mathbb N \qquad \left\{ \begin{array}{lcl} h(a) = 2f(a) & \quad & a \in A \\ h(b) = 2g(b)-1 & & b \in B \end{array} \right. $$ Este razonamiento demuestra también que el producto de un número finito de conjuntos numerables es numerables.

$\mathbb Q$ es numerable. En este caso, asociando a cada racional la fracción irreducible $\frac{p}{q}$ que lo representa, vemos que $\mathbb Q$ es un subconjunto de pares de naturales, y el cero: $\, \mathbb Q \subset (\mathbb N \times \mathbb N) \cup \{0\}$. Basta pues comprobar que el producto de dos conjuntos numerables es siempre numerable. Podemos restringirnos al caso de los naturales. Tomemos $$ \mathbb N \times \mathbb N = \bigcup_{k > 1} A_k , \qquad A_k = \{(n, m) \mid n+m = k\} $$ Cada conjunto $A_k$ tiene $k - 1$ elementos que ordenamos en la forma: $$ A_k: (1, k-1), \quad (2, k-2), \dots , (k-1, 1) $$ Podemos pues definir una aplicación $\, f: \mathbb N \times \mathbb N \longrightarrow \mathbb N \,$ que aplique el par $(p,q)$ en la suma del número de elementos contenidos en los $A_k$ con $k < p+q$, más $q$ que es el lugar que ocupa $(p, q)$ en $A_{p+q}$. Es decir, si $p+q = N$, $$ f(p, q) = \frac{N(N-1)}{2} + q $$

Conjuntos cocientes y particiones

En cualquier ciencia el clasificar los objetos de estudio es una tarea habitual. Clasificar consiste en distribuir los objetos en subconjuntos disjuntos de forma que todo objeto esté en alguno de los subconjuntos. A esto se le llama a menudo, hacer una partición. Una partición de un conjunto $X$ es una familia de subconjuntos $\{P_j \subset X \mid j \in J\}$, disjuntos dos a dos y tales que $X = \bigcup_{j \in J} P_j$.

Una relación en el conjunto $X$ es un criterio que nos permita decidir si un par de puntos (ordenados) de $X$, $(x,y)$, están o no relacionados. De forma más precisa, una relación es un subconjunto $R \subset X \times X$; el criterio consiste simplemente si ver si el par $(x,y)$ pertenece, o no, a $R$. La notación usual no es $\,(x,y) \in R$, sino algún símbolo entre $x$, $y$. Por ejemplo, en $\mathbb Z$ son relaciones $\, x \leq y$; $\, x | y$ ($x$ divide a $y$).

Una relación de equivalencia en el conjunto $X$ es un conjunto puntos de pares (ordenados) de $(x,y) \in X \times X$, que indicaremos por $x \sim y$, que cumple las condiciones

1. $x \sim x$, para todo $x \in X$. (Propiedad reflexiva)
2. $x \sim y \quad \Rightarrow \quad y \sim x$. (Propiedad simétrica)
3. $x \sim y, \,\, y \sim z \quad\Rightarrow\quad x \sim z$. (Propiedad transitiva)

Cada uno de los conjuntos de elementos relacionados entre sí se llama una clase de equivalencia. Designaremos por $[x]$ la clase de equivalencia que contiene a $x$ $$ [x] = \{ y \mid x \sim y \} $$ Designaremos por $X/\sim$ al conjunto de clases de equivalencia. Las clases de equivalencia forman una partición de $X$.

Recíprocamente, cualquier partición $\{P_j \subset X \mid j \in J\}$ proviene de una relación de equivalencia. Concretamente la relación que afirma que $x \sim y$ si, y solo si, pertenecen al mismo subconjunto $P_j$. Una partición es lo mismo que una clasificación; la correspondiente relación de equivalencia es el criterio por el cual se clasifican los elementos.