Interiores y adherencias

Los abiertos de nuestros ejemplos por antonomasia, los subespacios de $\mathbb R^n$, son lo que podríamos llamar conjuntos "sin piel": todos sus puntos están completamente rodeados de puntos que también son del conjunto. Así de los dos subconjuntos del plano

$$ A := \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \mid y > 0 \} \quad \subset \quad B := \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \mid y > 0 \} \cup \{(x,0) \mid x \leq 0 \} $$ el primero es abierto pero el segundo no lo es. En efecto, los puntos $(x,y)$ con $y > 0$ están rodeados completamente por puntos con la segunda coordenada mayor que $0$: la bola $$ B\left( (x,y),\, \frac{y}{2}\right)\subset \{(x,y) \in \mathbb R^2 \mid y > 0 \} $$ está contenida en $A$ y en $B$. A estos puntos los llamaremos puntos interiores. Ahora bien, para cualquier $x$, los puntos $(x, 0)$ tienen puntos de $A$ y de $B$ tan cerca como queramos, y puntos que no son ni de $A$ ni de $B$ también tan cerca como queramos. A estos puntos los llamaremos puntos frontera. El abierto $A$ no contiene ningún punto frontera.

Vamos a dar definiciones para cualquier espacio topológico $(X, \tau)$.

Sea $Y\subset X$ un subconjunto de un espacio topológico $(X, \tau)$. Diremos que $x$ es un punto interior de $Y$ si existe un abierto $U \in \tau$ que contiene $x$ y está contenido en $Y$: $\, x \in U \subset Y$. Llamaremos interior de $Y$ al conjunto de sus puntos interiores y lo indicaremos por $Y^\circ$.

Diremos que $x$ es un punto adherente a $Y$ si todo abierto $U$ que contenga a $x$ corta a $Y$: $U \cap Y \not= \emptyset$. Llamaremos adherencia de $Y$ al conjunto de sus puntos adherentes y lo indicaremos por $\overline{Y}$. Un punto adherente puede no ser un punto de $Y$.

Diremos que $x$ es un punto frontera de $Y$ si todo abierto $U \ni x$ contiene puntos de $Y$ y puntos fuera de $Y$. Llamaremos frontera de $Y$ al conjunto de sus puntos frontera y lo indicaremos por $\partial Y$.

Diremos que $x$ es un punto aislado de $Y$ si $x \in Y$, y tiene un entorno en el que él es el único punto de $Y$.

Tenemos $$ Y^\circ \subset Y \subset \overline{Y}, \qquad \partial Y = \overline Y \setminus Y^\circ $$

Ejemplo 1

Consideremos el siguiente subconjunto de la recta: $Y = (0,1] \cup \{2\} \subset \mathbb R$. Tenemos $$ Y^\circ = (0, 1), \qquad \overline{Y} = [0, 1] \cup \{2\}, \qquad \partial Y = \{0, 1, 2\} $$ $2$ es un punto aislado de $Y$.

Ejemplo 2

En el caso de los conjuntos $A$ y $B$ definidos más arriba $$ \begin{array}{lll} A^\circ = A, & \quad \overline A = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \mid y \geq 0 \}, &\quad \partial A = \{ (x,0) \in \mathbb R^2 \} \\ B^\circ = A, & \quad \overline B = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \mid y \geq 0 \}, & \quad \partial B = \{ (x,0) \in \mathbb R^2 \} \end{array} $$

Ejemplo 3

Sea $\, C = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \mid x \geq 0, \, y = nx, \, n \in \mathbb N\}$. Tenemos

$$ \begin{array}{l} C^\circ = \emptyset, \\ \\ \overline C = C \cup \{ (0, y) \mid y > 0 \}, \\ \\ \partial C = \{ (0, y) \mid y \geq 0 \} \end{array} $$

En otros espacios topológicos la frontera puede tener un aspecto muy distinto al del caso de los subespacios de $\mathbb R^n$. Veamos que pasa con algunos de los ejemplos de espacios topológicos que hemos definido.

Ejemplo 4

Si $X$ tiene la topología discreta, cualquier subconjunto coincide con su interior y con su adherencia. En particular, su frontera es siempre vacía.

Si $X$ tiene la topologia burda y el subconjunto $Y \subset X$ no es vacío ni todo $X$, entonces el interior es vacío y la adherencia todo el espacio: $$ Y^\circ = \emptyset \subset Y \subset \overline Y = X,\qquad \partial Y = X $$

Ejemplo 5

Si $X$ es finito, la topología de los complementarios finitos es la topología discreta. Si $X$ tiene infinidad de puntos, tenemos $$ \begin{array}{rcl} F \subset X, \quad F \,\, \text{ es finito } & \quad\Rightarrow\quad & \overline{F} = F, \qquad F^{\circ} = \emptyset \\ S \subset X, \quad S \,\, \text{ es infinito } & \quad\Rightarrow\quad & \overline{S} = X , \qquad S^{\circ} = \left\{ \begin{array}{rcl} \emptyset, & \text{ si } & X \setminus S \,\,\text{ infinito } \\ S, & \text{ si } & X \setminus S \,\, \text{ finito } \end{array} \right. \end{array} $$

Por la misma definición de interior, si $Y$ es un subconjunto del espacio $X$, $$ Y \quad \text{ abierto } \quad \Leftrightarrow \quad Y = Y^\circ $$ Para los cerrados, es decir, para los complementarios de los abiertos, tenemos $$ \begin{array}{rl} Y \quad \text{ cerrado } & \quad \Leftrightarrow \quad X \setminus Y \quad \text{ abierto } \quad \Leftrightarrow \quad \left( x \notin Y \Rightarrow x \, \text{ tiene un entorno que no corta a }\, Y \right) \\ & \quad \Leftrightarrow \quad \left( \text{todo entorno de } \, x \, \text{ corta a }\, Y \Rightarrow x \in Y \right)\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \overline Y \subset Y \quad \Leftrightarrow \quad Y = \overline Y \end{array} $$ puesto que siempre $\, Y \subset \overline Y$. Recordemos que un entorno de $x$ es cualquier conjunto que contiene un abierto que contiene a $x$.